Verificar se a aplicação F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é uma transformação linear, em que F(x)=e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por F(x)=e^{x} é uma transformação linear.
Informações dadas:
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Contradomínio: \mathbb{R}.
  • Regra: para todo x\in\mathbb{R}, F(x)=e^{x}.
  • Pergunta: F satisfaz as propriedades de linearidade (adição e multiplicação por escalar)?

Passo 2

Lembrando a definição (explicadinha): uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear quando, para quaisquer vetores u,v e qualquer escalar c, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui os vetores são números reais (já que o espaço é \mathbb{R}), e escalar também é um real. Essas duas propriedades são o que temos que testar para F.

Passo 3

Antes de testar cada propriedade diretamente, há uma consequência muito útil e fácil de lembrar: toda transformação linear T deve enviar o vetor zero para o zero, isto é,
T(0)=0.
Prova curta e didática disso: usando aditividade com u=0 e v=0,
T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0).
Subtraindo T(0) dos dois lados (isso é legítimo em \mathbb{R}) obtemos T(0)=0. Então, se uma aplicação não satisfaz T(0)=0, ela já falha em ser linear — fim do jogo.

Passo 4

Calculemos F(0) com a regra dada:
F(0)=e^{0}=1.
Como F(0)=1\neq0, isso viola a condição necessária T(0)=0 para linearidade. Conclusão: F não pode ser linear.

Passo 5

Para fixar bem a ideia, veja também contraexemplos diretos das propriedades:
  • Teste da aditividade com x=1 e y=1:
F(1+1)=F(2)=e^{2}, \qquad F(1)+F(1)=e^{1}+e^{1}=2e.
Como e^{2}\neq 2e (pois dividindo por e e\neq 2), a aditividade falha para esses valores.
  • Teste da homogeneidade com escalar c=2 e x=1:
F(2\cdot 1)=F(2)=e^{2}, \qquad 2\,F(1)=2e.
Novamente não batem. Esses exemplos reforçam que F não é linear.

Resposta

Não. F não é transformação linear.

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