Verificar se a aplicação
é uma transformação linear, em que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
definida por
é uma transformação linear.
Informações dadas:
- Domínio:
. - Contradomínio:
. - Regra: para todo
, . - Pergunta:
satisfaz as propriedades de linearidade (adição e multiplicação por escalar)?
Passo 2
Lembrando a definição (explicadinha): uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear quando, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
e
Aqui os vetores são números reais (já que o espaço é
), e escalar também é um real. Essas duas propriedades são o que temos que testar para
.
Passo 3
Antes de testar cada propriedade diretamente, há uma consequência muito útil e fácil de lembrar: toda transformação linear
deve enviar o vetor zero para o zero, isto é,
Prova curta e didática disso: usando aditividade com
e
,
Subtraindo
dos dois lados (isso é legítimo em
) obtemos
. Então, se uma aplicação não satisfaz
, ela já falha em ser linear — fim do jogo.
Passo 4
Calculemos
com a regra dada:
Como
, isso viola a condição necessária
para linearidade. Conclusão:
não pode ser linear.
Passo 5
Para fixar bem a ideia, veja também contraexemplos diretos das propriedades:
- Teste da aditividade com
e :
Como
(pois dividindo por
dá
), a aditividade falha para esses valores.
- Teste da homogeneidade com escalar
e :
Novamente não batem. Esses exemplos reforçam que
não é linear.
Resposta
Não.
não é transformação linear.