Verificar em cada caso, se f: A \rightarrow B é um homomorfismo do anel A no anel B. E quando f for um homomorfismo, determinar o núcleo.
A=\mathbb{Z}, B=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} e f(x)=(x, 0) ;

Passo 1

O enunciado dá a função f: A \to B com A=\mathbb{Z}, B=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} e
f(x) = (x,0).
As perguntas que precisamos responder são:
  1. Verificar se f é um homomorfismo de anéis (isto é, se preserva soma e produto).
  2. Quando f for homomorfismo, determinar o núcleo de f.
Informações relevantes dadas:
  • O domínio é \mathbb{Z}.
  • O contradomínio é o produto cartesiano \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}, com operações usuais do anel produto.
  • A fórmula explícita de f é f(x)=(x,0).

Passo 2

Vou explicar o que significa “ser homomorfismo de anéis” e o que é núcleo, para a gente usar isso passo a passo.
Definição (forma utilizada aqui): uma aplicação f entre anéis é um homomorfismo de anéis se, para todos a,b no anel de origem, valem
f(a+b)=f(a)+f(b)
e
f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b).
(Algumas definições exigem também f(1)=1; eu vou verificar essa propriedade separadamente e explico o significado.)
Núcleo: o núcleo de f é o conjunto
\ker(f)=\{x\in A \mid f(x)=0_B\},
onde 0_B é o elemento zero do anel B.
Operações no anel produto \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}: para quaisquer (a,b),(c,d)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
e
(a,b)\cdot(c,d)=(a\cdot c,\; b\cdot d).
O elemento zero em \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} é (0,0) e o elemento unidade (se existir) é (1,1).

Passo 3

Verificação da propriedade aditiva f(x+y)=f(x)+f(y).
Tome x,y\in\mathbb{Z}. Então, usando a definição de f,
f(x+y) = (x+y,0).
Pelo modo de somar pares em \mathbb{Z}\times\mathbb{Z},
f(x)+f(y) = (x,0)+(y,0) = (x+y,\,0+0) = (x+y,0).
Logo
f(x+y)=f(x)+f(y).
Explicação extra: aqui só usamos que em cada componente a soma é a soma usual dos inteiros — nada de mágico.

Passo 4

Verificação da propriedade multiplicativa f(xy)=f(x)f(y).
Tome x,y\in\mathbb{Z}. Pela definição,
f(xy) = (xy,0).
Multiplicando imagens em \mathbb{Z}\times\mathbb{Z},
f(x)\cdot f(y) = (x,0)\cdot(y,0) = (x\cdot y,\;0\cdot 0) = (xy,0).
Portanto
f(xy)=f(x)f(y).
Explicação extra: a multiplicação no anel produto é componente a componente, daí o segundo componente ser 0\cdot0=0.

Passo 5

Discussão sobre preservação da unidade (opcional, mas importante para notar diferenças).
Calcule f(1) e compare com a unidade de B:
f(1)=(1,0),
enquanto a unidade de B=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} é
1_B=(1,1).
Temos (1,0)\neq(1,1). Portanto f não preserva a unidade: f(1)\neq 1_B.
Comentário didático: algumas vezes se exige que um homomorfismo de anéis também envie 1 em 1; nesse caso diz-se “homomorfismo unitário” ou “homomorfismo de anéis não nulo-unital”. Aqui f preserva soma e produto, então é um homomorfismo de anéis na noção que exige apenas soma e produto, mas não é um homomorfismo que preserve a unidade.

Passo 6

Cálculo do núcleo \ker(f).
Por definição,
\ker(f)=\{x\in\mathbb{Z}\mid f(x)=(0,0)\}.
Usando f(x)=(x,0), a condição f(x)=(0,0) equivale a
(x,0)=(0,0).
Isto força x=0. Não há outro inteiro que satisfaça isso. Logo
\ker(f)=\{0\}.
Comentário didático: o núcleo de um homomorfismo de anéis é sempre um ideal do anel origem; aqui \{0\} é o ideal trivial de \mathbb{Z}.

Resposta

f é um homomorfismo de anéis (preserva soma e produto), mas não preserva a unidade: f(1)=(1,0)\neq(1,1).\n \ker(f)=\{0\}.

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