Verificar em cada caso, se
é um homomorfismo do anel
no anel
. E quando
for um homomorfismo, determinar o núcleo.
e
Passo 1
O enunciado dá a função
com
,
e
As perguntas que precisamos responder são:
- Verificar se
é um homomorfismo de anéis (isto é, se preserva soma e produto). - Quando
for homomorfismo, determinar o núcleo de .
Informações relevantes dadas:
- O domínio é
. - O contradomínio é o produto cartesiano
, com operações usuais do anel produto. - A fórmula explícita de
é .
Passo 2
Vou explicar o que significa “ser homomorfismo de anéis” e o que é núcleo, para a gente usar isso passo a passo.
Definição (forma utilizada aqui): uma aplicação
entre anéis é um homomorfismo de anéis se, para todos
no anel de origem, valem
e
(Algumas definições exigem também
; eu vou verificar essa propriedade separadamente e explico o significado.)
Núcleo: o núcleo de
é o conjunto
onde
é o elemento zero do anel
.
Operações no anel produto
: para quaisquer
,
e
O elemento zero em
é
e o elemento unidade (se existir) é
.
Passo 3
Verificação da propriedade aditiva
.
Tome
. Então, usando a definição de
,
Pelo modo de somar pares em
,
Logo
Explicação extra: aqui só usamos que em cada componente a soma é a soma usual dos inteiros — nada de mágico.
Passo 4
Verificação da propriedade multiplicativa
.
Tome
. Pela definição,
Multiplicando imagens em
,
Portanto
Explicação extra: a multiplicação no anel produto é componente a componente, daí o segundo componente ser
.
Passo 5
Discussão sobre preservação da unidade (opcional, mas importante para notar diferenças).
Calcule
e compare com a unidade de
:
enquanto a unidade de
é
Temos
. Portanto
não preserva a unidade:
.
Comentário didático: algumas vezes se exige que um homomorfismo de anéis também envie
em
; nesse caso diz-se “homomorfismo unitário” ou “homomorfismo de anéis não nulo-unital”. Aqui
preserva soma e produto, então é um homomorfismo de anéis na noção que exige apenas soma e produto, mas não é um homomorfismo que preserve a unidade.
Passo 6
Cálculo do núcleo
.
Por definição,
Usando
, a condição
equivale a
Isto força
. Não há outro inteiro que satisfaça isso. Logo
Comentário didático: o núcleo de um homomorfismo de anéis é sempre um ideal do anel origem; aqui
é o ideal trivial de
.