Calcule a integral de linha por dois métodos: diretamente e usando o teorema de Green.
\oint_{C} x y d x+x^{2} d y onde C é o retângulo de vértices (0,0),(3,0),(3,3) e (0,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
\oint_{C} x y\,dx + x^{2}\,dy
onde C é o retângulo de vértices (0,0), (3,0), (3,3), (0,3). O pedido é fazer isso por dois métodos: diretamente (parametrizando cada lado) e usando o Teorema de Green. Observações e informações dadas:
  • A função integranda pode ser vista como um campo vetorial com componentes P(x,y)=x y e Q(x,y)=x^{2}.
  • O contorno C é fechado e a orientação padrão para aplicar o Teorema de Green é a orientação positiva (sentido anti-horário). Vou assumir essa orientação (contra-horária) para C.

Passo 2

Antes de parametrizar, vamos revisar a definição de integral de linha para um campo vetorial em duas dimensões. Se C é dado por uma parametrização \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) para t\in[a,b], então
\int_{C} P\,dx + Q\,dy = \int_{a}^{b} \big(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
Aqui x'(t) e y'(t) são as derivadas das componentes da parametrização. Essa fórmula é a que usaremos no método direto, aplicando-a lado a lado para cada aresta do retângulo.

Passo 3

Parametrizamos os quatro lados do retângulo no sentido anti-horário:
Lado C_1: de (0,0) a (3,0). Use \mathbf{r}_1(t)=(t,0), com t\in[0,3].
Então x(t)=t, y(t)=0, dx=dt, dy=0.
O integrando vira
P\,dx+Q\,dy = (x y)\,dx + (x^{2})\,dy = t\cdot 0\cdot dt + t^{2}\cdot 0 = 0.
Logo
\int_{C_1} = \int_{0}^{3} 0\,dt = 0.

Passo 4

Lado C_2: de (3,0) a (3,3). Use \mathbf{r}_2(t)=(3,t), com t\in[0,3].
Então x(t)=3, y(t)=t, dx=0, dy=dt.
O integrando é
P\,dx+Q\,dy = (3\cdot t)\cdot 0 + (3^{2})\cdot dt = 9\,dt.
Integrando,
\int_{C_2} = \int_{0}^{3} 9\,dt = 9\cdot 3 = 27.

Passo 5

Lado C_3: de (3,3) a (0,3). Parametrização no sentido anti-horário é para x decrescer: use \mathbf{r}_3(t)=(t,3), com t\in[3,0] (ou equivalentemente usar t\in[0,3] e inserir sinal; vou usar t\in[3,0]).
Então x(t)=t, y(t)=3, dx=dt, dy=0.
O integrando é
P\,dx+Q\,dy = (t\cdot 3)\,dt + t^{2}\cdot 0 = 3t\,dt.
Integrando de t=3 até t=0,
\int_{C_3} = \int_{3}^{0} 3t\,dt = -\int_{0}^{3} 3t\,dt = -3\cdot \frac{1}{2}\,3^{2} = -\frac{27}{2}.

Passo 6

Lado C_4: de (0,3) a (0,0). Use \mathbf{r}_4(t)=(0,t), com t\in[3,0].
Então x(t)=0, y(t)=t, dx=0, dy=dt.
O integrando é
P\,dx+Q\,dy = 0\cdot t\cdot 0 + 0^{2}\cdot dt = 0.
Portanto
\int_{C_4} = 0.

Passo 7

Somando as contribuições dos quatro lados:
\oint_{C} = \int_{C_1} + \int_{C_2} + \int_{C_3} + \int_{C_4} = 0 + 27 - \frac{27}{2} + 0 = \frac{27}{2}.
Portanto, pelo cálculo direto obtemos \dfrac{27}{2}.

Passo 8

Agora vamos usar o Teorema de Green. Primeiro, afirmo o enunciado do teorema (versão para campos em \mathbb{R}^2): se C é um contorno simples fechado, orientado positivamente, que delimita uma região D e P,Q têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área; a fórmula transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região interior.

Passo 9

Verificamos as hipóteses: P(x,y)=x y e Q(x,y)=x^{2} têm derivadas parciais contínuas em toda parte, logo podemos aplicar Green na região retangular D=\{(x,y):0\le x\le 3,\;0\le y\le 3\}.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) = 2x,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x y) = x.
Portanto o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x - x = x.

Passo 10

Aplicando Green, obtemos a integral dupla
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} x\,dA.
Como D é o retângulo 0\le x\le 3,\;0\le y\le 3, fazemos a integral iterada:
\iint_{D} x\,dA = \int_{0}^{3}\int_{0}^{3} x\,dy\,dx = \int_{0}^{3} \big( \,x\cdot \int_{0}^{3} dy\,\big)\,dx = \int_{0}^{3} 3x\,dx.
Calculando,
\int_{0}^{3} 3x\,dx = 3\cdot \frac{1}{2}\,3^{2} = \frac{27}{2}.

Passo 11

Conclusão: tanto pelo cálculo direto por parametrização dos lados quanto pelo Teorema de Green obtemos o mesmo resultado, o que é uma boa checagem. Parabéns — deu tudo certo!

Resposta

\dfrac{27}{2}

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