Calcule a integral de linha por dois métodos: diretamente e usando o teorema de Green.
onde
é o retângulo de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
onde
é o retângulo de vértices
. O pedido é fazer isso por dois métodos: diretamente (parametrizando cada lado) e usando o Teorema de Green. Observações e informações dadas:
- A função integranda pode ser vista como um campo vetorial com componentes
e . - O contorno
é fechado e a orientação padrão para aplicar o Teorema de Green é a orientação positiva (sentido anti-horário). Vou assumir essa orientação (contra-horária) para .
Passo 2
Antes de parametrizar, vamos revisar a definição de integral de linha para um campo vetorial em duas dimensões. Se
é dado por uma parametrização
para
, então
Aqui
e
são as derivadas das componentes da parametrização. Essa fórmula é a que usaremos no método direto, aplicando-a lado a lado para cada aresta do retângulo.
Passo 3
Parametrizamos os quatro lados do retângulo no sentido anti-horário:
Lado
: de
a
. Use
, com
.
Então ,
,
,
.
O integrando vira
Então
O integrando vira
Logo
Passo 4
Lado
: de
a
. Use
, com
.
Então ,
,
,
.
O integrando é
Então
O integrando é
Integrando,
Passo 5
Lado
: de
a
. Parametrização no sentido anti-horário é para
decrescer: use
, com
(ou equivalentemente usar
e inserir sinal; vou usar
).
Então ,
,
,
.
O integrando é
Então
O integrando é
Integrando de
até
,
Passo 6
Lado
: de
a
. Use
, com
.
Então ,
,
,
.
O integrando é
Então
O integrando é
Portanto
Passo 7
Somando as contribuições dos quatro lados:
Portanto, pelo cálculo direto obtemos
.
Passo 8
Agora vamos usar o Teorema de Green. Primeiro, afirmo o enunciado do teorema (versão para campos em
): se
é um contorno simples fechado, orientado positivamente, que delimita uma região
e
têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, então
Aqui
é o elemento de área; a fórmula transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região interior.
Passo 9
Verificamos as hipóteses:
e
têm derivadas parciais contínuas em toda parte, logo podemos aplicar Green na região retangular
.
Calcule as derivadas parciais:
Portanto o integrando é
Passo 10
Aplicando Green, obtemos a integral dupla
Como
é o retângulo
, fazemos a integral iterada:
Calculando,
Passo 11
Conclusão: tanto pelo cálculo direto por parametrização dos lados quanto pelo Teorema de Green obtemos o mesmo resultado, o que é uma boa checagem. Parabéns — deu tudo certo!