Verificar em cada caso, se f: A \rightarrow B é um homomorfismo do anel A no anel B. E quando f for um homomorfismo, determinar o núcleo.
A=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, B=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} e f(x, y)=(0, y) ;

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede coisas claras:
  • Temos os anéis A=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} e B=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}.
  • A aplicação f:A\to B é dada por f(x,y)=(0,y).
    O que preciso verificar:
  1. Se f é um homomorfismo de anéis (isto é, preserva soma e produto; depois eu comento sobre preservação da unidade).
  2. Se for homomorfismo, determinar o núcleo de f, isto é, o conjunto \ker(f)=\{(x,y)\in A \mid f(x,y)=(0,0)\}.

Passo 2

Lembra comigo a definição prática (passo-a-passo): para f ser homomorfismo de anéis precisamos verificar duas propriedades fundamentais para quaisquer (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in A:
\begin{aligned} \text{(i) preserva soma:}&\quad f\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2),\\[4pt] \text{(ii) preserva produto:}&\quad f\big((x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)\big)=f(x_1,y_1)\cdot f(x_2,y_2). \end{aligned}
Vou checar cada uma com contas explícitas e explicadas, devagarinho, como a gente faz na prova.]

Passo 3

Verificação da preservação da soma (detalhada):
  • A soma em A=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} é componente a componente, então
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
  • Aplicando f à soma:
f\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=f(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=(0,\;y_1+y_2).
  • Agora calculo f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2):
f(x_1,y_1)=(0,y_1),\qquad f(x_2,y_2)=(0,y_2),
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f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)=(0,y_1)+(0,y_2)=(0+0,\;y_1+y_2)=(0,\;y_1+y_2).
Como os dois resultados coincidem, a propriedade de soma está satisfeita.

Passo 4

Verificação da preservação do produto (detalhada):
  • O produto em A também é componente a componente, então
(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1x_2,\;y_1y_2).
  • Aplicando f ao produto:
f\big((x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)\big)=f(x_1x_2,\;y_1y_2)=(0,\;y_1y_2).
  • Calculando o produto das imagens:
f(x_1,y_1)\cdot f(x_2,y_2)=(0,y_1)\cdot(0,y_2)=(0\cdot 0,\;y_1y_2)=(0,\;y_1y_2).
Os dois lados são iguais, então a propriedade de produto também é satisfeita.

Passo 5

Conclusão sobre ser homomorfismo:
Como f preserva soma e produto para quaisquer elementos, concluímos que f é um homomorfismo de anéis no sentido usual que exige preservação de soma e produto.
Observação sobre preservação da unidade (importante na prova):
  • A unidade em \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} é (1,1).
  • Calculando f(1,1) obtemos
f(1,1)=(0,1)\neq(1,1).
Portanto f não preserva a unidade; isto é, f não é um homomorfismo unitário (quando se exige f(1)=1). Se o enunciado exigir preservação explícita da unidade, então f falharia; se não exigir, f é homomorfismo (como já concluí acima).

Passo 6

Definição e cálculo do núcleo (passo-a-passo):
  • Por definição,
\ker(f)=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\mid f(x,y)=(0,0)\}.
  • Como f(x,y)=(0,y), a condição f(x,y)=(0,0) equivale a
(0,y)=(0,0)\iff y=0.
  • Não há nenhuma restrição sobre x; qualquer x\in\mathbb{Z} serve. Portanto
\ker(f)=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}\times\{0\}.

Passo 7

Propriedade extra (útil para a prova):
  • O núcleo \mathbb{Z}\times\{0\} é um ideal de A. Dá para ver rápido: é subgrupo aditivo e, para qualquer (a,b)\in A e (x,0)\in\ker(f),
(a,b)\cdot(x,0)=(ax,b\cdot 0)=(ax,0)\in\mathbb{Z}\times\{0\},
mostrando absorção. Só uma observação motivadora — serve para lembrar que núcleo de homomorfismo de anéis é sempre um ideal.

Resposta

Sim, f é um homomorfismo de anéis (preserva soma e produto), porém não preserva a unidade: f(1,1)=(0,1)\neq(1,1).
Núcleo: \ker(f)=\mathbb{Z}\times\{0\}.

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