Verificar em cada caso, se
é um homomorfismo do anel
no anel
. E quando
for um homomorfismo, determinar o núcleo.
e
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede coisas claras:
- Temos os anéis
e . - A aplicação
é dada por .
O que preciso verificar:
- Se
é um homomorfismo de anéis (isto é, preserva soma e produto; depois eu comento sobre preservação da unidade). - Se for homomorfismo, determinar o núcleo de
, isto é, o conjunto .
Passo 2
Lembra comigo a definição prática (passo-a-passo): para
ser homomorfismo de anéis precisamos verificar duas propriedades fundamentais para quaisquer
:
Vou checar cada uma com contas explícitas e explicadas, devagarinho, como a gente faz na prova.]
Passo 3
Verificação da preservação da soma (detalhada):
- A soma em
é componente a componente, então
- Aplicando
à soma:
- Agora calculo
:
logo
Como os dois resultados coincidem, a propriedade de soma está satisfeita.
Passo 4
Verificação da preservação do produto (detalhada):
- O produto em
também é componente a componente, então
- Aplicando
ao produto:
- Calculando o produto das imagens:
Os dois lados são iguais, então a propriedade de produto também é satisfeita.
Passo 5
Conclusão sobre ser homomorfismo:
Como preserva soma e produto para quaisquer elementos, concluímos que
é um homomorfismo de anéis no sentido usual que exige preservação de soma e produto.
Como
Observação sobre preservação da unidade (importante na prova):
- A unidade em
é . - Calculando
obtemos
Portanto
não preserva a unidade; isto é,
não é um homomorfismo unitário (quando se exige
). Se o enunciado exigir preservação explícita da unidade, então
falharia; se não exigir,
é homomorfismo (como já concluí acima).
Passo 6
Definição e cálculo do núcleo (passo-a-passo):
- Por definição,
- Como
, a condição equivale a
- Não há nenhuma restrição sobre
; qualquer serve. Portanto
Passo 7
Propriedade extra (útil para a prova):
- O núcleo
é um ideal de . Dá para ver rápido: é subgrupo aditivo e, para qualquer e ,
mostrando absorção. Só uma observação motivadora — serve para lembrar que núcleo de homomorfismo de anéis é sempre um ideal.
Resposta
Sim,
é um homomorfismo de anéis (preserva soma e produto), porém não preserva a unidade:
.
Núcleo: .
Núcleo: