Verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para
e o valor da integral
, onde
.
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial em
e pede para verificar se é conservativo, achar uma potencial
e calcular
Para isso usaremos o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas e, em caso positivo, o Teorema Fundamental para campos conservativos.
Passo 2
Verificamos as derivadas parciais cruzadas:
Como
em todo
, o campo é conservativo.
Passo 3
Procuramos
tal que
integramos em
:
onde
é função a determinar. Agora impomos
Logo
, isto é,
. Podemos escolher
e então
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
Resposta
O campo é conservativo;
uma potencial é ;
e .
uma potencial é
e