Verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para \vec{f} e o valor da integral \int_{(0,0,0)}^{(a, b, c)} \vec{f} \cdot d \vec{r}, onde a, b, c \in \mathbb{R}.
\int_{(0,0)}^{(\pi, 1)}\left(e^{y} \cos x d x+e^{y} \operatorname{sen} x d y\right).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial em \mathbb{R}^2
\vec{f}(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) = \bigl(e^{y}\cos x,\;e^{y}\sin x\bigr)
e pede para verificar se é conservativo, achar uma potencial \varphi(x,y) e calcular
\int_{(0,0)}^{(\pi,1)}\vec{f}\cdot d\vec{r}.
Para isso usaremos o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas e, em caso positivo, o Teorema Fundamental para campos conservativos.

Passo 2

Verificamos as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}\cos x\bigr) = e^{y}\cos x,
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y}\sin x\bigr) = e^{y}\cos x.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^2, o campo é conservativo.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = P(x,y) = e^{y}\cos x,
integramos em x:
\varphi(x,y) = \int e^{y}\cos x\,dx = e^{y}\sin x + g(y),
onde g(y) é função a determinar. Agora impomos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = e^{y}\sin x + g'(y) \stackrel{!}{=} Q(x,y) = e^{y}\sin x.
Logo g'(y)=0, isto é, g(y)=C. Podemos escolher C=0 e então
\varphi(x,y) = e^{y}\sin x.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
\int_{(0,0)}^{(\pi,1)}\vec{f}\cdot d\vec{r} = \varphi(\pi,1) - \varphi(0,0) = e^{1}\sin\pi \;-\; e^{0}\sin 0 = 0 - 0 = 0.

Resposta

O campo é conservativo;
uma potencial é \displaystyle \varphi(x,y)=e^{y}\sin x;
e \displaystyle \int_{(0,0)}^{(\pi,1)}\vec{f}\cdot d\vec{r}=0.

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