Verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para
e o valor da integral
, onde
.
Passo 1
O enunciado apresenta o campo vetorial
e pede para verificar se ele é conservativo, em caso afirmativo achar uma função potencial tal que
e, por fim, calcular
e pede para verificar se ele é conservativo, em caso afirmativo achar uma função potencial
Passo 2
Para testar conservatividade num domínio simplesmente conexo, comparamos as derivadas parciais de componente a componente:
Calculemos
Calculemos
Como todas as igualdades
,
e
se cumprem,
é conservativo.
Passo 3
Para achar
, integramos
em
:
Derivando em
e igualando a
:
Agora derivamos em
e igualamos a
:
Logo, uma função potencial é
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
Calculando:
Portanto o valor da integral é
.
Resposta
O campo é conservativo.
A função potencial pode ser
A integral de linha vale
A função potencial pode ser
A integral de linha vale