Verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para \vec{f} e o valor da integral \int_{(0,0,0)}^{(a, b, c)} \vec{f} \cdot d \vec{r}, onde a, b, c \in \mathbb{R}.
\int_{(-1,0,0)}^{(1,1,1)}\left[e^{y} d x+\left(x e^{y}+e^{z}\right) d y+\right. \left.\left(y e^{z}-2 e^{-2 z}\right) d z\right]

Passo 1

O enunciado apresenta o campo vetorial \vec f(x,y,z)=\bigl\langle e^y,\;x e^y + e^z,\;y e^z - 2e^{-2z}\bigr\rangle
e pede para verificar se ele é conservativo, em caso afirmativo achar uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec f e, por fim, calcular
\int_{(-1,0,0)}^{(1,1,1)}\bigl[e^{y}\,dx + (x e^{y}+e^{z})\,dy + (y e^{z}-2 e^{-2z})\,dz\bigr].

Passo 2

Para testar conservatividade num domínio simplesmente conexo, comparamos as derivadas parciais de componente a componente: \displaystyle P=e^y,\;Q=x e^y+e^z,\;R=y e^z-2e^{-2z}.
Calculemos
\frac{\partial P}{\partial y}=e^y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=e^y,
\frac{\partial P}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial R}{\partial x}=0,
\frac{\partial Q}{\partial z}=e^z,\quad \frac{\partial R}{\partial y}=e^z.
Como todas as igualdades \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, \partial P/\partial z=\partial R/\partial x e \partial Q/\partial z=\partial R/\partial y se cumprem, \vec f é conservativo.

Passo 3

Para achar \varphi, integramos P em x:
\varphi(x,y,z)=\int e^y\,dx = x e^y + g(y,z).
Derivando em y e igualando a Q:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = x e^y + \frac{\partial g}{\partial y} \;\stackrel!=\;x e^y + e^z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=e^z \;\Longrightarrow\; g(y,z)=y e^z + h(z).
Agora derivamos em z e igualamos a R:
\frac{\partial\varphi}{\partial z} =0 + y e^z + h'(z) \;\stackrel!=\;y e^z -2e^{-2z} \quad\Longrightarrow\quad h'(z)=-2e^{-2z} \;\Longrightarrow\; h(z)=e^{-2z}+C.
Logo, uma função potencial é
\varphi(x,y,z)=x e^y + y e^z + e^{-2z} + C.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
\int_{(-1,0,0)}^{(1,1,1)}\vec f\cdot d\vec r =\varphi(1,1,1)-\varphi(-1,0,0).
Calculando:
\varphi(1,1,1)=1\cdot e^1 + 1\cdot e^1 + e^{-2} =2e + e^{-2}, \quad \varphi(-1,0,0)=(-1)e^0 + 0 + e^0=0.
Portanto o valor da integral é 2e + e^{-2}.

Resposta

O campo é conservativo.
A função potencial pode ser \displaystyle \varphi(x,y,z)=x e^y + y e^z + e^{-2z} + C.
A integral de linha vale \displaystyle 2e + e^{-2}.

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