VERIFICAR SE OS CAMPOS VETORIAIS SEGUINTES TÊM POTENCIAL U E, CASO TENHAM, ACHÁ-LO:
a=GRAD U
a=(5 x^2 y-4 x y) i+(3 x^2-2 y) j

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial definido por a = (5x^2y - 4xy) i + (3x^2 - 2y) j. O objetivo é verificar se esse campo possui um potencial U, ou seja, se existe uma função U(x, y) tal que a = nabla U. Se existir, também precisamos encontrar essa função U. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Para descobrir se o campo vetorial a tem um potencial U, precisamos verificar se ele é conservativo. Em termos simples, um campo vetorial é conservativo se podemos encontrar uma função U cuja gradiente nos dá o campo vetorial original. Uma condição importante para que isso aconteça, no caso de campos em duas dimensões, é que as derivadas parciais das componentes do campo satisfaçam uma certa igualdade.
No nosso caso, as componentes do campo vetorial são:
  • P = 5x^2y - 4xy
  • Q = 3x^2 - 2y
A condição para que o campo seja conservativo é:
partial Ppartial y = partial Qpartial x

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas parciais:
  1. Calculando partial Ppartial y:
partialpartial y (5x^2y - 4xy) = 5x^2 - 4x
  1. Calculando partial Qpartial x:
partialpartial x (3x^2 - 2y) = 6x
Agora, vamos comparar os resultados:
5x^2 - 4x vs 6x
Como podemos ver, 5x^2 - 4x não é igual a 6x em geral. Essa igualdade só seria verdadeira para valores específicos de x (por exemplo, x = 0 ou x = 45), mas não para todo x.

Resposta

O campo vetorial não possui um potencial U.

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