VERIFICAR SE OS CAMPOS VETORIAIS SEGUINTES TÊM POTENCIAL
E, CASO TENHAM, ACHÁ-LO:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial definido por
. O objetivo é verificar se esse campo possui um potencial
, ou seja, se existe uma função
tal que
. Se existir, também precisamos encontrar essa função
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais.
Passo 2
Para descobrir se o campo vetorial
tem um potencial
, precisamos verificar se ele é conservativo. Em termos simples, um campo vetorial é conservativo se podemos encontrar uma função
cuja gradiente nos dá o campo vetorial original. Uma condição importante para que isso aconteça, no caso de campos em duas dimensões, é que as derivadas parciais das componentes do campo satisfaçam uma certa igualdade.
No nosso caso, as componentes do campo vetorial são:
A condição para que o campo seja conservativo é:
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais:
- Calculando
:
- Calculando
:
Agora, vamos comparar os resultados:
Como podemos ver,
não é igual a
em geral. Essa igualdade só seria verdadeira para valores específicos de
(por exemplo,
ou
), mas não para todo
.
Resposta
O campo vetorial não possui um potencial
.