Verificar se f é descontinuidade das funções:
f(x, y)=rllraiz1-x^2-y^2 & se & x^2+y^2 <= 1 0 & se & x^2+y^2>1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função de duas variáveis
f(x,y)=
raiz1 - x^2 - y^2, & x^2 + y^2 <= 1, 0, & x^2 + y^2 > 1,
O conteúdo é continuidade de funções em R^2 e vamos precisar da definição de limite e continuidade em várias variáveis.

Passo 2

Para pontos com x^2 + y^2 < 1, a função f(x,y)=raiz1 - x^2 - y^2 é composição de funções contínuas (polinômios e raiz quadrada) num domínio onde o radicando é positivo. Logo, ela é contínua em todo o interior do círculo unitário.

Passo 3

Para pontos com x^2 + y^2 > 1, temos f(x,y)=0, ou seja, função constante numa região aberta, o que implica continuidade também fora do disco.

Passo 4

Falta checar na fronteira x^2 + y^2 = 1. Se (x0,y0) está nessa circunferência, então
f(x0,y0)=raiz1-1=0
Para qualquer sequência (xn,yn)to(x0,y0), se xn^2+yn^2<=1 então
f(xn,yn)=raiz1-(xn^2+yn^2)to0,
e se xn^2+yn^2>1 então f(xn,yn)=0. Em ambos os casos
lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y)=0=f(x0,y0)
Logo, não há descontinuidade na fronteira.

Passo 5

Como não há nenhum ponto de descontinuidade nem dentro, nem fora, nem na fronteira do círculo unitário, concluímos que f é contínua em todo R^2.

Resposta

A função f é contínua em todo R^2.

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