Encontre a área de toda região interna à curva
(dada em coordenadas polares).
(b). A área está no intervalo
(b). A área está no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região interna à curva $ r = \cos 2\theta $ nas coordenadas polares, especificamente no intervalo $ \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right[ $. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria em coordenadas polares e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área $ A $ de uma região delimitada por uma curva $ r = f(\theta) $ entre os ângulos $ \alpha $ e $ \beta $ é dada por:
Isso significa que precisamos integrar o quadrado da função $ r $ em relação a $ \theta $ no intervalo fornecido.
Passo 3
No nosso caso, a função que define a curva é $ r = \cos 2\theta $. Vamos substituir isso na fórmula:
Agora, precisamos simplificar $ (\cos 2\theta)^2 $ para facilitar a integração.
Passo 4
Sabemos que $ \cos^2 x $ pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na nossa expressão:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que $ \sin 2\pi = 0 $ e $ \sin \pi = 0 $, então:
Resposta
A área da região interna à curva $ r = \cos 2\theta $ no intervalo $ \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right[ $ é $ \frac{\pi}{16} $.