Encontre a área de toda região interna à curva r=cos 2 theta (dada em coordenadas polares).
(b). A área está no intervalo [pi / 4, pi / 2[

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região interna à curva $ r = \cos 2\theta $ nas coordenadas polares, especificamente no intervalo $ \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right[ $. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria em coordenadas polares e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área $ A $ de uma região delimitada por uma curva $ r = f(\theta) $ entre os ângulos $ \alpha $ e $ \beta $ é dada por:
A
Isso significa que precisamos integrar o quadrado da função $ r $ em relação a $ \theta $ no intervalo fornecido.

Passo 3

No nosso caso, a função que define a curva é $ r = \cos 2\theta $. Vamos substituir isso na fórmula:
r = cos 2theta
Agora, precisamos simplificar $ (\cos 2\theta)^2 $ para facilitar a integração.

Passo 4

Sabemos que $ \cos^2 x $ pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
cos^2 x
Aplicando isso na nossa expressão:
cos^2 x = 1 + cos 2x2
Então, a integral fica:
(cos 2theta)^2 = 1 + cos 4theta2

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral (1 + cos 4theta) , dtheta = theta + sin 4theta4 + C
Aplicando os limites de integração:
A = 14 [ ( pi2 + sin 2pi4 ) - ( pi4 + sin pi4 ) ]
Sabemos que $ \sin 2\pi = 0 $ e $ \sin \pi = 0 $, então:
sin 2pi = 0

Resposta

A área da região interna à curva $ r = \cos 2\theta $ no intervalo $ \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right[ $ é $ \frac{\pi}{16} $.

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