Ex. 7. Verificar se f é descontinuidade das funções:
f(x, y)=rllraiz1-x^2-y^2 & se & x^2+y^2 <= 1 0 & se & x^2+y^2>1.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= raiz1 - x^2 - y^2,&se x^2+y^2<=1, 0,&se x^2+y^2>1
Queremos verificar se há pontos em que f seja descontínua. Para isso, vamos checar continuidade em três tipos de ponto: dentro do disco ( x^2+y^2<1), fora do disco ( x^2+y^2>1) e na fronteira ( x^2+y^2=1).

Passo 2

Se (x0,y0) satisfaz x0^2+y0^2<1, então em torno desse ponto f(x,y)=raiz1 - x^2 - y^2. Como a função
g(u,v)=1 - u^2 - v^2
é contínua e a aplicação raizcdot também o é em valores não negativos, a composição
raizg(x,y)
é contínua. Logo, f é contínua em todos os pontos com x^2+y^2<1.

Passo 3

Se (x0,y0) satisfaz x0^2+y0^2>1, então existe um entorno onde sempre vale x^2+y^2>1 e, nesse entorno, f(x,y)=0. Como a função constante zero é contínua, f é contínua em todos os pontos com x^2+y^2>1.

Passo 4

Resta verificar a fronteira x^2+y^2=1. Tome um ponto (x0,y0) com x0^2+y0^2=1. Temos
f(x0,y0)=raiz1-1=0
Para a continuidade, analisamos
lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y).
  • Se (x,y) aproxima por dentro ( x^2+y^2<1), f(x,y)=raiz1 - x^2 - y^2toraiz1-1=0
  • Se (x,y) aproxima por fora ( x^2+y^2>1), f(x,y)=0to0
Em ambos os casos o limite é 0, que coincide com f(x0,y0). Portanto f é contínua também na fronteira.

Resposta

A função f não apresenta descontinuidades; ela é contínua em todo R^2.

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