Queremos verificar se há pontos em que f seja descontínua. Para isso, vamos checar continuidade em três tipos de ponto: dentro do disco (x^2+y^2<1), fora do disco (x^2+y^2>1) e na fronteira (x^2+y^2=1).
Passo 2
Se (x0,y0) satisfaz x0^2+y0^2<1, então em torno desse ponto f(x,y)=raiz1 - x^2 - y^2. Como a função
g(u,v)=1 - u^2 - v^2
é contínua e a aplicação raizcdot também o é em valores não negativos, a composição raizg(x,y)
é contínua. Logo, f é contínua em todos os pontos com x^2+y^2<1.
Passo 3
Se (x0,y0) satisfaz x0^2+y0^2>1, então existe um entorno onde sempre vale x^2+y^2>1 e, nesse entorno, f(x,y)=0. Como a função constante zero é contínua, f é contínua em todos os pontos com x^2+y^2>1.
Passo 4
Resta verificar a fronteira x^2+y^2=1. Tome um ponto (x0,y0) com x0^2+y0^2=1. Temos
f(x0,y0)=raiz1-1=0
Para a continuidade, analisamos lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y).
Se (x,y) aproxima por dentro (x^2+y^2<1), f(x,y)=raiz1 - x^2 - y^2toraiz1-1=0
Se (x,y) aproxima por fora (x^2+y^2>1), f(x,y)=0to0
Em ambos os casos o limite é 0, que coincide com f(x0,y0). Portanto f é contínua também na fronteira.
Resposta
A função f não apresenta descontinuidades; ela é contínua em todo R^2.