Verificar se a função dada é uma solução da equação diferencial.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0 e y=(4 x-7) e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = (4x - 7)e^{-x}
é solução da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = 0.
Para isso, vamos calcular y' e y'' e depois substituir na equação.

Passo 2

Calcular y' usando a regra do produto em y = u\,e^{-x} com u=4x-7 e u'=4. Temos
y' = u'\,e^{-x} + u\,\bigl(-e^{-x}\bigr) = \bigl(4 - (4x - 7)\bigr)e^{-x} = (-4x + 11)e^{-x}.

Passo 3

Calcular y''. Seja p=-4x+11, com p'=-4. Então
y'' = p'\,e^{-x} + p\,\bigl(-e^{-x}\bigr) = \bigl(-4 + (4x - 11)\bigr)e^{-x} = (4x - 15)e^{-x}.

Passo 4

Substituir y, y' e y'' em y'' + 2y' + y:
y'' + 2y' + y = (4x - 15)e^{-x} + 2(-4x + 11)e^{-x} + (4x - 7)e^{-x}.
Como todos os termos têm fator comum e^{-x}, somamos os coeficientes:
4x - 15 \;+\;(-8x + 22)\;+\;(4x - 7) = (4x - 8x + 4x) + (-15 + 22 - 7) = 0 + 0 = 0.
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y'' + 2y' + y = 0.

Resposta

Sim. A função \,y=(4x-7)e^{-x} satisfaz a equação diferencial \,y''+2y'+y=0.

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