Verificar se a função dada é uma solução da equação diferencial.
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=0 e y=x e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + 6y' + 9y = 0
e pede para verificar se
y = x e^{-3x}
é uma solução. Vamos precisar calcular y' e y'' por derivação e então substituir na equação para checar se o resultado é zero.

Passo 2

Calcular a primeira derivada usando regra do produto:
y = x e^{-3x}
y' = (x)'e^{-3x} + x\,(e^{-3x})' = e^{-3x} + x\bigl(-3e^{-3x}\bigr) = e^{-3x}(1 - 3x).

Passo 3

Calcular a segunda derivada de y', novamente por regra do produto:
y' = e^{-3x}(1 - 3x)
y'' = (e^{-3x})'(1 - 3x) + e^{-3x}\,(1 - 3x)' = (-3e^{-3x})(1 - 3x) + e^{-3x}(-3) = e^{-3x}\bigl[-3(1 - 3x) - 3\bigr] = e^{-3x}(9x - 6).

Passo 4

Substituir y, y' e y'' em y'' + 6y' + 9y:
y'' + 6y' + 9y = e^{-3x}(9x - 6) + 6\,e^{-3x}(1 - 3x) + 9\,x e^{-3x}.
Fatorando e^{-3x}:
e^{-3x}\bigl[(9x - 6) + 6(1 - 3x) + 9x\bigr] = e^{-3x}\bigl[9x - 6 + 6 - 18x + 9x\bigr] = e^{-3x}(0) = 0.
Como o lado esquerdo fica identicamente zero, a função satisfaz a equação.

Resposta

A função y = x e^{-3x} é solução de
y'' + 6y' + 9y = 0.

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