Verificar se a função dada é uma solução da equação diferencial.
y^{\prime \prime}-9 y=e^{3 x}+\operatorname{sen} x \mathrm{e} y=e^{-x}+e^{x}+\frac{1}{6} x e^{3 x}-\frac{1}{10} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' - 9\,y = e^{3x} + \sin x
e propõe a função
y(x) = e^{-x} + e^{x} + \frac{1}{6}\,x\,e^{3x} - \frac{1}{10}\,\sin x.
Para verificar se é solução, basta calcular y', y'' e montar y''-9y.

Passo 2

Derivando termo a termo: y_1=e^{-x} y_1'=-e^{-x}, y_1''=e^{-x}. y_2=e^{x} y_2'=e^{x}, y_2''=e^{x}. y_3=\tfrac{1}{6}x\,e^{3x}
y_3'=\frac{1}{6}\bigl(e^{3x}+3x\,e^{3x}\bigr) =\frac{1}{6}e^{3x}+\frac{1}{2}x\,e^{3x},
y_3''=\frac{1}{2}e^{3x}+\Bigl(\frac{1}{2}e^{3x}+\frac{3}{2}x\,e^{3x}\Bigr) =e^{3x}+\frac{3}{2}x\,e^{3x}. y_4=-\tfrac{1}{10}\sin x y_4'=-\tfrac{1}{10}\cos x, y_4''=\tfrac{1}{10}\sin x.

Passo 3

Somando as partes e subtraindo 9y:
y''-9y =\bigl(e^{-x}+e^{x}+e^{3x}+\tfrac{3}{2}x\,e^{3x}+\tfrac{1}{10}\sin x\bigr) -9\bigl(e^{-x}+e^{x}+\tfrac{1}{6}x\,e^{3x}-\tfrac{1}{10}\sin x\bigr).
Agrupando:
y''-9y =-8e^{-x}-8e^{x} +e^{3x} +\sin x.

Passo 4

O lado direito da equação é e^{3x}+\sin x, mas encontramos
y''-9y=e^{3x}+\sin x-8\bigl(e^x+e^{-x}\bigr),
que não coincide com e^{3x}+\sin x.

Resposta

A função dada não é solução da equação diferencial.

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