Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde {C1, C2} ∈ R são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
g) f(x) = C1 e^(5 x) + C2 x e^(5 x) => y'' - 10 y' + 25 y = 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função é uma solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) . Aqui, e são constantes reais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de e substituir na EDO para ver se a igualdade é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . Lembre-se que a derivada de é , e usamos a regra do produto para .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . Aplicamos a derivada novamente em :

Passo 4

Agora que temos , e , vamos substituí-los na EDO :

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
Primeiro, distribui o -10:
Agora, distribui o 25:

Passo 6

Juntando tudo:
Agora, vamos combinar termos semelhantes:
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Somando tudo:
Isso significa que, após substituir e suas derivadas na EDO, a igualdade é satisfeita para quaisquer valores de e .

Resposta

A função é uma solução geral da EDO porque, ao substituir na equação, todas as termos se cancelam, resultando em .

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