Encontre a derivada direcional de f(x, y) = 4xy + x^3 + 2y no ponto P(1,-1) e na direção do vetor unitário que forma ängulo theta = 45 graus com o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção de um vetor unitário que faz um ângulo de com o eixo . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função muda quando a gente se move em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, usamos o gradiente da função, que é um vetor formado pelas derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas parciais de :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
O gradiente da função é então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :
  • Substituindo e :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, precisamos do vetor unitário na direção do ângulo de com o eixo . Um vetor na direção desse ângulo é . Como , temos:
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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