Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
j)
;
j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
é uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
. A matéria envolvida aqui é a resolução de EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função
e substituir na EDO para ver se a igualdade se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Lembrando que a derivada de
é
e a derivada de
é 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. Usando a mesma regra de derivação:
Passo 4
Com
,
e a EDO
, vamos substituir
e
na equação:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Note que os termos com
e
se cancelam:
Passo 6
A igualdade
é verdadeira para todo
, o que significa que a função
satisfaz a EDO dada.
Resposta
Sim, a função
é uma solução geral da EDO
porque, ao substituir na equação, a igualdade se mantém para quaisquer constantes
e
.