Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde {C1, C2} ∈ R são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
j) f(x) = C1 e^(2 x) + C2 e^(-2 x) - 3 x => y'' - 4 y = 12 x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por . A matéria envolvida aqui é a resolução de EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função e substituir na EDO para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Lembrando que a derivada de é e a derivada de é 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . Usando a mesma regra de derivação:

Passo 4

Com , e a EDO , vamos substituir e na equação:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Note que os termos com e se cancelam:

Passo 6

A igualdade é verdadeira para todo , o que significa que a função satisfaz a EDO dada.

Resposta

Sim, a função é uma solução geral da EDO porque, ao substituir na equação, a igualdade se mantém para quaisquer constantes e .

Exercícios relacionados