Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P^-1 AP.
A=[ll2 & 4 3 & 1]

Passo 1

Estamos com a matriz
A = 2 & 4 [6pt] 3 & 1
e queremos saber se ela é diagonalizável. Para isso, vamos precisar achar os autovalores lambda de A (resolvendo o polinômio característico) e em seguida verificar se há dois autovetores linearmente independentes. Se sim, montamos uma matriz P cujas colunas são esses autovetores e mostramos que
P^-1 A P
é diagonal.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A - lambda I):
det(A - lambda I) =det2-lambda & 4 [3pt] 3 & 1-lambda =(2-lambda)(1-lambda)-4cdot3 =lambda^2 -3lambda -10
Para achar os autovalores, resolvemos
lambda^2 -3lambda -10 = 0
A soma das raízes é 3 e o produto é -10, logo as raízes são
lambda1 = 5, lambda2 = -2 ]

Passo 3

Agora encontramos um autovetor para cada .
Para , resolvemos , ou seja
Da primeira linha vem , ou seja . Podemos escolher e obter o autovetor
Para , resolvemos :
que dá (ou ), logo . Tomando temos
]

Passo 4

Como obtivemos dois autovalores distintos, os autovetores v1 e v2 são necessariamente linearmente independentes. Portanto A é diagonalizável. Montamos
P = v1 & v2 = 4 & 1 [3pt] 3 & -1 ]

Passo 5

Vamos calcular . O determinante de é
e a inversa de uma é . Assim
Finalmente, verificamos
isto é, a forma diagonal com os autovalores na diagonal.]

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Uma escolha conveniente é
P = 4 & 1 [3pt] 3 & -1, P^-1 A P = 5 & 0 [3pt] 0 & -2 ]

Exercícios relacionados