Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P^-1 AP.
A=[ll9 & 1 4 & 6]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 9 & 14 & 6
é diagonalizável. Para isso, vamos usar o conteúdo de autovalores e autovetores: primeiro encontramos o polinômio característico det(A - lambda I)=0, achamos os autovalores lambda distintos, depois determinamos vetores próprios associados e, por fim, montamos a matriz de mudança de base P cujas colunas são esses autovetores. Se houver dois autovalores distintos em R, A é diagonalizável e P^-1AP será uma matriz diagonal com esses autovalores.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det9-lambda & 14 & 6-lambda = (9-lambda)(6-lambda)-4
Expandindo,
(9-lambda)(6-lambda)-4 =54 -9lambda -6lambda +lambda^2 -4 =lambda^2 -15lambda +50
Resolvendo lambda^2 -15lambda +50=0 pela fórmula de Bhaskara:
lambda = 15 pm raiz15^2 -4cdot502 = 15 pm raiz225-2002 = 15 pm 52,
logo
lambda1=10 e lambda2=5, que são distintos. Assim, A é diagonalizável.

Passo 3

Determinar um autovetor para cada autovalor.
Para , resolvemos
que dá , ou seja . Escolhendo , um autovetor é
Para , resolvemos
que dá , ou seja . Escolhendo , um autovetor é

Passo 4

Formar a matriz P cujas colunas são v1 e v2:
P = 1 & 11 & -4,
e a matriz diagonal de autovalores é
D = 10 & 00 & 5
Pelo teorema de diagonalização, se P é invertível então
P^-1AP = D
O determinante de P é det(P)=1cdot(-4)-1cdot1=-5neq0, logo P é invertível.

Passo 5

Calcular explicitamente P^-1. Como
det(P)=-5, tem-se
P^-1 =1-5-4 & -1-1 & 1 =4/5 & 1/51/5 & -1/5
Verifica-se então
P^-1AP =10 & 00 & 5

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Uma escolha para P e para P^-1AP é
P = 1 & 11 & -4, P^-1AP = 10 & 00 & 5

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