Em um objeto foram realizadas três transformações, primeiro foi realizada uma reflexão em relação a reta y=x, depois foi realizado um cisalhamento na direção do eixo x com um fator igual a 1 e por fim foi realizada uma rotação com ângulo de 90^circ no sentido anti-horário. Sabendo que essas transformações foram repetidas 32 vezes seguindo essa ordem indicada acima, qual será a matriz transformação resultante que representaria todas as transformações realizadas?

Passo 1

O enunciado pede a matriz resultante de uma transformação composta por:
1) reflexão em relação à reta y=x,
2) cisalhamento na direção do eixo x com fator 1,
3) rotação de 90^circ no sentido anti--horário,
tudo isso repetido 32 vezes.
O que precisamos fazer é: representar cada transformação por sua matriz 2times2, compô-las para obter a matriz de um ciclo e então elevar essa matriz à potência 32.

Passo 2

Vamos anotar:
  • F = reflexão em relação a y=x. Troca x com y, logo
F = 0 & 11 & 0
  • H = cisalhamento horizontal com fator 1. Soma x x+y, logo
H = 1 & 10 & 1
  • R = rotação de 90^circ CCW.
R = 0 & -11 & 0

Passo 3

A matriz de um ciclo (reflexão, depois cisalhamento, depois rotação) é
S = R,H,F
Primeiro calculemos H,F:
H,F = 1 & 10 & 1 0 & 11 & 0 = 1 & 11 & 0
Agora
S = R,(H F) = 0 & -11 & 0 1 & 11 & 0 = -1 & 01 & 1

Passo 4

Observe que
S^2 = -1 & 01 & 1^2 = 1 & 00 & 1 = I
Como S^2=I, para todo n par vale S^n=(S^2)^n/2=I. Em particular,
S^32 = I

Resposta

1 & 0 0 & 1

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