Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde {C1, C2} ∈ R são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
i) f(x) = C1 e^x + C2 x e^x + 1/2 x^2 e^x => y'' - 2 y' + y = e^x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função é uma solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) . Para isso, vamos precisar entender de EDOs de segunda ordem e como verificar se uma função é solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma solução geral de uma EDO homogênea associada (quando o lado direito é zero) inclui termos com constantes arbitrárias, como e . No nosso caso, a EDO não é homogênea porque tem no lado direito. A função inclui termos que provavelmente fazem parte da solução geral dessa EDO não homogênea.

Passo 3

Para verificar se é realmente uma solução, precisamos substituir e suas derivadas na EDO dada e ver se a igualdade se mantém. Ou seja, calculamos e , substituímos na equação e verificamos se o resultado é igual a .

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada de :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos , e na EDO :
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:
  • Primeiro, distribuímos o -2:

Passo 8

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos com :

Passo 9

Após simplificar, a equação fica:
Isso não é igual a , então a função não satisfaz a EDO dada para qualquer valor de e .

Resposta

A função não é uma solução geral da EDO , pois, ao substituir na equação, a igualdade não se mantém.

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