Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde C ∈ R é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
e) t^2 y^2 + 2 t y = C => (2 t y^2 + 2 y) + (2 t^2 y + 2 t) dy/dt = 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma relação entre e , que é , onde é uma constante qualquer. Além disso, temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Nosso objetivo é verificar se a relação fornecida é, de fato, uma solução geral dessa EDO. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e substituição em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a relação em relação a . Isso é chamado de diferenciação implícita, já que é uma função de . Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
Como é uma constante, sua derivada é zero.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada separadamente:
  1. Para :
Aqui, usamos a regra do produto: derivamos e multiplicamos por , mais vezes a derivada de , que é .
  1. Para :
Novamente, aplicamos a regra do produto.

Passo 4

Substituindo as derivadas na equação inicial:
Podemos reorganizar os termos:
E isso é exatamente a EDO que nos foi dada!

Passo 5

Isso significa que, ao diferenciar a relação , nós obtivemos exatamente a EDO fornecida. Portanto, a relação satisfaz a EDO para qualquer constante .

Resposta

Sim, a relação é uma solução geral da EDO dada, pois ao diferenciá-la e substituir na equação, a igualdade é satisfeita para qualquer constante .

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