Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
e)
;
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma relação entre
e
, que é
, onde
é uma constante qualquer. Além disso, temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Nosso objetivo é verificar se a relação fornecida é, de fato, uma solução geral dessa EDO. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e substituição em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a relação
em relação a
. Isso é chamado de diferenciação implícita, já que
é uma função de
. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
Como
é uma constante, sua derivada é zero.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada separadamente:
- Para
:
Aqui, usamos a regra do produto: derivamos
e multiplicamos por
, mais
vezes a derivada de
, que é
.
- Para
:
Novamente, aplicamos a regra do produto.
Passo 4
Substituindo as derivadas na equação inicial:
Podemos reorganizar os termos:
E isso é exatamente a EDO que nos foi dada!
Passo 5
Isso significa que, ao diferenciar a relação
, nós obtivemos exatamente a EDO fornecida. Portanto, a relação satisfaz a EDO para qualquer constante
.
Resposta
Sim, a relação
é uma solução geral da EDO dada, pois ao diferenciá-la e substituir na equação, a igualdade é satisfeita para qualquer constante
.