Dadas as retas r_{1}: \frac{x-1}{2}=y ; z=3 e r_{2}:\left\{\begin{array}{c}x=t \\\ y=-1+t \\\ z=2+t\end{array}\right., encontrar as equações reduzidas na variável \mathbf{x} da reta que passa por A(1,0,0) e pelo ponto de intersecção de r_{1} e r_{2}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as equações reduzidas na variável [\mathbf{x}) da reta que passa por A(1,0,0) e pelo ponto de interseção de r_{1} e r_{2}.
Informações fornecidas:
  • r_{1} é dada por \dfrac{x-1}{2}=y e z=3.
  • r_{2} é dada por
\begin{cases} x=t,\\[4pt] y=-1+t,\\[4pt] z=2+t. \end{cases}
  • Ponto A\] tem coordenadas \(A(1,0,0).
O que será preciso fazer:
  • Encontrar o ponto de interseção P entre r_{1} e r_{2}.
  • Determinar a reta que passa por A e P.
  • Tentar escrever as equações reduzidas "na variável x" (explicarei o que isso significa e se é possível neste caso).]

Passo 2

Encontrar o ponto de interseção P entre r_{1} e r_{2}.
Método: um ponto comum deve satisfazer as equações de ambas as retas. Como em r_{1} temos z=3, imponho z=3 em r_{2}. Pela expressão de r_{2} obtemos
2+t=3.
Portanto
t=1.
Substituindo t=1 nas coordenadas de r_{2} achamos
x=1,\qquad y=-1+1=0,\qquad z=2+1=3.
Logo o ponto de interseção é P(1,0,3).
Verificação rápida: esse ponto satisfaz r_{1} porque em r_{1} temos y=(x-1)/2=(1-1)/2=0 e z=3. Tudo consistente.

Passo 3

Calcular o vetor diretor da reta que passa por A e P.
Para obter o vetor diretor usamos a diferença das coordenadas: se um ponto é A(x_A,y_A,z_A) e o outro é P(x_P,y_P,z_P), então um vetor diretor é
\vec{v}=P-A=(x_P-x_A,\;y_P-y_A,\;z_P-z_A).
Aplicando aos pontos A(1,0,0) e P(1,0,3):
\vec{v}=(1-1,\;0-0,\;3-0)=(0,0,3).
Portanto um vetor diretor é \vec{v}=(0,0,3). (Qualquer múltiplo não nulo também serve; por exemplo (0,0,1).)

Passo 4

Escrever equações paramétricas da reta usando um parâmetro [\lambda).
A forma paramétrica geral de uma reta com ponto inicial A(x_A,y_A,z_A) e vetor diretor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\begin{cases} x=x_A+v_x\lambda,\\[4pt] y=y_A+v_y\lambda,\\[4pt] z=z_A+v_z\lambda, \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}.
Aqui x_A=1,\\ y_A=0,\\ z_A=0\] e \[\vec{v}=(0,0,3). Substituindo:
\begin{cases} x=1+0\cdot\lambda=1,\\[4pt] y=0+0\cdot\lambda=0,\\[4pt] z=0+3\lambda=3\lambda. \end{cases}
Assim uma descrição paramétrica conveniente é
\begin{cases} x=1,\\[4pt] y=0,\\[4pt] z=3\lambda,\quad \lambda\in\mathbb{R}. \end{cases}
Se preferir normalizar o vetor diretor, pode usar parâmetro s=3\lambda\] e escrever \(z=s, com s\in\mathbb{R}.]

Passo 5

Explicar o que são as "equações reduzidas na variável x" e verificar se é possível usá-las aqui.
Definição prática: quando se pede equações reduzidas da reta "na variável x", normalmente quer-se escrever y e z como funções afins de x, isto é
y=y_0+\frac{v_y}{v_x}(x-x_0),\qquad z=z_0+\frac{v_z}{v_x}(x-x_0),
que vem de eliminar o parâmetro usando x como parâmetro (é necessário que v_x\neq 0 para dividir por v_x).
No nosso caso o vetor diretor é \vec{v}=(0,0,3), portanto v_x=0. Isso significa que x é constante ao longo da reta ( x=1 para todos os pontos da reta) e não se pode escrever y e z como funções de x do tipo y=f(x), z=g(x) porque dividir por v_x seria divisão por zero. Em outras palavras, as equações reduzidas na variável x (no sentido de y e z como funções de x) não existem para esta reta.

Passo 6

Apresentar a forma final adequada para a reta (forma alternativa quando v_x=0).
Como x é constante e y também é constante aqui, a forma mais direta é escrever:
x=1,\qquad y=0,\qquad z\\ \text{livre (parâmetro)}.â
Usando parâmetro t\in\mathbb{R} para a coordenada z, uma descrição completa é
\begin{cases} x=1,\\[4pt] y=0,\\[4pt] z=t,\quad t\in\mathbb{R}. \end{cases}]

Resposta

x=1
y=0
z=t,\\ t\in\mathbb{R}

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