Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos: r(x, y, z)=(ln (x y), ln (y z), ln (z x));

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial vec r(x,y,z)=(ln(xy),;ln(yz),;ln(zx)) é conservativo. Estamos em cálculo vetorial, mais precisamente em campos potenciais. Para decidir isso, vamos precisar usar o teste do rotacional e considerar o domínio onde o campo está definido (aqui x>0,;y>0,;z>0, que é simplesmente conexo).

Passo 2

Vamos identificar as componentes do campo. Definimos
P(x,y,z)=ln(xy), Q(x,y,z)=ln(yz), R(x,y,z)=ln(zx)

Passo 3

Agora aplicamos a definição do rotacional em R^3:
nablatimesvec r=l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Vamos calcular cada parcela:
- partial Rpartial y=partialpartial y[ln(zx)]=0 porque zx não depende de y.
- partial Qpartial z=partialpartial z[ln(yz)]=1/z
- partial Ppartial z=partialpartial z[ln(xy)]=0
- partial Rpartial x=partialpartial x[ln(zx)]=1/x
- partial Qpartial x=partialpartial x[ln(yz)]=0
- partial Ppartial y=partialpartial y[ln(xy)]=1/y

Passo 4

Substituindo essas derivadas no rotacional, obtemos
nablatimesvec r =l(0-tfrac1z,;0-tfrac1x,;0-tfrac1yr)=l(-tfrac1z,;-tfrac1x,;-tfrac1yr)
Como esse vetor não é o vetor nulo em todo o domínio, concluímos que o campo não é conservativo.

Passo 5

Num domínio simplesmente conexo, um campo é conservativo se e somente se seu rotacional for identicamente zero. Aqui ele não é zero, então vec r não é conservativo.

Resposta

O campo não é conservativo, pois seu rotacional é nablatimesvec r=(-1/z,,-1/x,,-1/y)neq(0,0,0).

Exercícios relacionados