Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos:
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Estamos em cálculo vetorial, mais precisamente em campos potenciais. Para decidir isso, vamos precisar usar o teste do rotacional e considerar o domínio onde o campo está definido (aqui
, que é simplesmente conexo).
Passo 2
Vamos identificar as componentes do campo. Definimos
Passo 3
Agora aplicamos a definição do rotacional em
:
Vamos calcular cada parcela:
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Passo 4
Substituindo essas derivadas no rotacional, obtemos
Como esse vetor não é o vetor nulo em todo o domínio, concluímos que o campo não é conservativo.
Passo 5
Num domínio simplesmente conexo, um campo é conservativo se e somente se seu rotacional for identicamente zero. Aqui ele não é zero, então
não é conservativo.
Resposta
O campo não é conservativo, pois seu rotacional é
.