Denotamos por
, o maior inteiro menor ou igual a
. Calcule a integral
onde
.
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver este exercício juntos. A questão pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
. Isso envolve entender como a função piso, representada por
, funciona e como integrá-la em uma região retangular. Vamos precisar dividir a região
em partes onde
é constante para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função piso
. Ela retorna o maior inteiro que é menor ou igual a
. Por exemplo,
e
. No nosso caso, a função é
, então precisamos ver para quais valores de
e
a soma
atinge diferentes inteiros.
Passo 3
Vamos analisar os limites da região
. Isso significa que
varia de 1 a 3 e
varia de 2 a 5. Portanto, a soma
varia de
até
. Assim, os possíveis valores inteiros para
são 3, 4, 5, 6 e 7.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as linhas onde
é igual a um inteiro, ou seja,
, onde
. Essas linhas vão dividir a região
em sub-regiões onde
é constante.
Passo 5
Vamos desenhar as linhas
,
,
,
,
, e
dentro do retângulo
. Cada interseção dessas linhas com os limites de
define os pontos onde a função piso muda de valor.
Passo 6
Após traçar essas linhas, identificamos que elas intersectam os limites de
criando várias sub-regiões retangulares. Em cada uma dessas sub-regiões,
assume um valor constante, que será igual a
onde
é o inteiro correspondente à linha
.
Passo 7
Vamos calcular a área de cada sub-região e multiplicar pelo valor constante de
nessa região. Depois, somamos todas essas contribuições para obter o valor da integral dupla.
Passo 8
Realizando os cálculos, encontramos que:
- Para
, - Para
, - Para
, - Para
, - Para
,
Calculando as áreas correspondentes a cada faixa e multiplicando pelo valor de
, temos:
Passo 9
Agora, multiplicamos cada área pelo valor de
correspondente:
Passo 10
Finalmente, somamos todas as contribuições para obter o valor da integral dupla:
Resposta
A integral dupla vale
.