Denotamos por lfloor zrfloor, o maior inteiro menor ou igual a z. Calcule a integral
integral duplaRlfloor x+yrfloor d A
onde R=[1,3] times[2,5].

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver este exercício juntos. A questão pede para calcular a integral dupla de lfloor x + y rfloor sobre a região R = [1,3] times [2,5]. Isso envolve entender como a função piso, representada por lfloor z rfloor, funciona e como integrá-la em uma região retangular. Vamos precisar dividir a região R em partes onde lfloor x + y rfloor é constante para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função piso lfloor z rfloor. Ela retorna o maior inteiro que é menor ou igual a z. Por exemplo, lfloor 2.7 rfloor = 2 e lfloor 5 rfloor = 5. No nosso caso, a função é lfloor x + y rfloor, então precisamos ver para quais valores de x e y a soma x + y atinge diferentes inteiros.

Passo 3

Vamos analisar os limites da região R = [1,3] times [2,5]. Isso significa que x varia de 1 a 3 e y varia de 2 a 5. Portanto, a soma x + y varia de 1 + 2 = 3 até 3 + 5 = 8. Assim, os possíveis valores inteiros para lfloor x + y rfloor são 3, 4, 5, 6 e 7.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as linhas onde x + y é igual a um inteiro, ou seja, x + y = k, onde k = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Essas linhas vão dividir a região R em sub-regiões onde lfloor x + y rfloor é constante.

Passo 5

Vamos desenhar as linhas x + y = 3, x + y = 4, x + y = 5, x + y = 6, x + y = 7, e x + y = 8 dentro do retângulo R = [1,3] times [2,5]. Cada interseção dessas linhas com os limites de R define os pontos onde a função piso muda de valor.

Passo 6

Após traçar essas linhas, identificamos que elas intersectam os limites de R criando várias sub-regiões retangulares. Em cada uma dessas sub-regiões, lfloor x + y rfloor assume um valor constante, que será igual a k - 1 onde k é o inteiro correspondente à linha x + y = k.

Passo 7

Vamos calcular a área de cada sub-região e multiplicar pelo valor constante de lfloor x + y rfloor nessa região. Depois, somamos todas essas contribuições para obter o valor da integral dupla.

Passo 8

Realizando os cálculos, encontramos que:
  • Para 3 <= x + y < 4, lfloor x + y rfloor = 3
  • Para 4 <= x + y < 5, lfloor x + y rfloor = 4
  • Para 5 <= x + y < 6, lfloor x + y rfloor = 5
  • Para 6 <= x + y < 7, lfloor x + y rfloor = 6
  • Para 7 <= x + y < 8, lfloor x + y rfloor = 7
Calculando as áreas correspondentes a cada faixa e multiplicando pelo valor de lfloor x + y rfloor, temos:
Área 1 &= Área onde 3 <= x + y < 4 Rightarrow 0.5 times 1 times 1 = 0.5 Área 2 &= Área onde 4 <= x + y < 5 Rightarrow 1 times 1 = 1 Área 3 &= Área onde 5 <= x + y < 6 Rightarrow 1 times 1 = 1 Área 4 &= Área onde 6 <= x + y < 7 Rightarrow 1 times 1 = 1 Área 5 &= Área onde 7 <= x + y < 8 Rightarrow 0.5 times 1 times 1 = 0.5 ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

Passo 9

Agora, multiplicamos cada área pelo valor de lfloor x + y rfloor correspondente:
Contribuição 1 &= 0.5 times 3 = 1.5 Contribuição 2 &= 1 times 4 = 4 Contribuição 3 &= 1 times 5 = 5 Contribuição 4 &= 1 times 6 = 6 Contribuição 5 &= 0.5 times 7 = 3.5 çãçãçãçãçã

Passo 10

Finalmente, somamos todas as contribuições para obter o valor da integral dupla:
1.5 + 4 + 5 + 6 + 3.5 = 20

Resposta

A integral dupla vale 20.

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