Seja r: I R^3, I intervalo aberto, derivável até segunda ordem. Suponha que r(t) forneça a posição, no instante t, de um ponto P que se move no espaço. Definimos a velocidade e a aceleração de P no instante t por, respectivamente, v(t)=d rd t(t) e a(t)=d vd t(t). Suponha que a aceleração de uma asa-delta, que partiu do ponto (3,0,0) no instante t=0 com velocidade v(0)=3 j, seja a(t)=-(3 cos t) i-(3 sen t) j+2 k.
Preenchendo as caixinhas abaixo com inteiros não negativos, expresse a velocidade e a posição desse objeto:
v(t)=-(square sen t) i+square cos t j+
square t k e
l r(t)=square cos t i+square sen t j+square t^2 k

Passo 1

O exercício trata do movimento de um objeto no espaço com vetor aceleração dado e condições iniciais de posição e velocidade. Vamos precisar usar que vec v(t)=vec r,'(t) e vec a(t)=vec v,'(t), integrando sucessivamente e ajustando constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Integramos vec a(t)=-(3cos t),i-(3sin t),j+2,k para obter vec v(t) mais uma constante vec C:
vec v(t)=integralvec a(t),dt=-3sin t,i+3cos t,j+2t,k+vec C

Passo 3

Aplicamos a condição vec v(0)=3,j. Em t=0 temos vec v(0)= -3sin0,i+3cos0,j+0+vec C=3,j+vec C, logo vec C=vec0. Assim:
vec v(t)=-3sin t,i+3cos t,j+2t,k

Passo 4

Agora integramos vec v(t) para obter vec r(t) mais uma constante vec D:
vec r(t)=integralvec v(t),dt=3cos t,i+3sin t,j+t^2,k+vec D

Passo 5

Usamos a condição vec r(0)=(3,0,0)=3,i+vec D, o que dá vec D=vec0. Logo:
vec r(t)=3cos t,i+3sin t,j+t^2,k

Resposta

vec v(t)=-3sin t,i+3cos t,j+2t,k e vec r(t)=3cos t,i+3sin t,j+t^2,k.

Exercícios relacionados