Verificar se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, x=y^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x = y^{2}\right\}
e pede para verificar se S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
Informações relevantes fornecidas:
  • Um vetor típico de S tem a forma (x,y,z) com a condição x=y^{2}.
  • Não há restrição sobre z; ou seja, z pode ser qualquer número real.
  • A pergunta é simplesmente: S é ou não um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3?

Passo 2

Definição e teste prático (mini-aula): o que significa ser subespaço?
  • Um subconjunto W de \mathbb{R}^3 é subespaço vetorial se, e somente se:
    1. W contém o vetor zero, isto é, (0,0,0)\in W;
    2. W é fechado sob soma: se u,v\in W então u+v\in W;
    3. W é fechado sob multiplicação por escalares: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c\,u\in W.
  • Observação didática: basta encontrar um dos itens 2 ou 3 violado (ou o zero ausente) para concluir que não é subespaço. Muitas vezes é mais fácil testar fechamento por escalares ou por soma com um exemplo simples.
  • Importante: a condição que define S, x=y^{2}, é uma relação não linear (quadrática) entre coordenadas — isso já dá uma pista: subespaços são definidos por equações lineares homogêneas (por exemplo ax+by+cz=0), então quando vemos um quadrado y^{2} desconfiamos que não será subespaço. Vamos provar isso com exemplos e argumento geral.

Passo 3

Verificação do vetor zero (passo rápido):
  • O vetor zero é (0,0,0).
  • Teste a condição de S: x=y^{2} fica 0 = 0^{2}, que é verdadeiro.
  • Conclusão: (0,0,0)\in S. Ter o zero é necessário, mas não é suficiente — precisamos testar fechamento.

Passo 4

Contraexemplo simples para fechamento por escalares (explicado passo a passo):
  • Escolho um vetor de S fácil de ver: v = (1,1,0).
    • Verifico que v\in S porque x=1 e y=1 e 1 = 1^{2}.
  • Agora escolho um escalar simples: c = -1.
  • Calculo c\,v: -1\cdot(1,1,0) = (-1,-1,0).
  • Para que (-1,-1,0) pertença a S teria que valer -1 = (-1)^{2}.
  • Mas (-1)^{2}=1, então a igualdade -1 = 1 é falsa.
  • Conclusão: c\,v\notin S. Portanto S não é fechado sob multiplicação por escalares e assim não é subespaço vetorial.

Passo 5

Contraexemplo para fechamento por soma (opcional, reforçando a intuição):
  • Tome u=(1,1,0) e w=(1,-1,0).
    • Ambos pertencem a S porque para cada um x=1 e y=\pm1, e 1=(\pm1)^{2}.
  • Some-os: u+w = (1,1,0)+(1,-1,0) = (2,0,0).
  • Para que (2,0,0)\in S precisaria que 2 = 0^{2}=0, o que é falso.
  • Conclusão alternativa: S não é fechado sob soma.

Passo 6

Argumento geral (mais matemático, mas ainda didático) que explica o porquê em termos algébricos:
  • Um vetor genérico de S pode ser escrito como (y^{2},y,z).
  • Multiplicando por um escalar c obtemos c\,(y^{2},y,z) = (c y^{2}, c y, c z).
  • Para que esse vetor esteja em S deve valer a condição do primeiro componente igual ao quadrado do segundo: c y^{2} = (c y)^{2} = c^{2} y^{2}.
  • Isso implica (c-c^{2})\,y^{2} = 0.
  • Para y\neq 0 isso exige c-c^{2}=0, ou seja c(1-c)=0, então c=0 ou c=1. Mas a multiplicação por escalares deve funcionar para qualquer c\in\mathbb{R}. Como não vale para, por exemplo, c=-1, temos contradição.
  • Assim, de forma geral, S não é fechado por multiplicação escalar porque a condição é quadrática em y.

Passo 7

Resumo final do raciocínio:
  • Mostramos explicitamente um vetor em S cujo múltiplo por -1 não está em S.
  • Mostramos também que a condição x=y^{2} é não linear e impede o fechamento por escalares (argumento geral).
  • Portanto S não satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço vetorial.

Resposta

Não; S não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

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