Verificar se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e pede para verificar se
é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes fornecidas:
- Um vetor típico de
tem a forma com a condição . - Não há restrição sobre
; ou seja, pode ser qualquer número real. - A pergunta é simplesmente:
é ou não um subespaço vetorial de ?
Passo 2
Definição e teste prático (mini-aula): o que significa ser subespaço?
- Um subconjunto
de é subespaço vetorial se, e somente se: -
contém o vetor zero, isto é, ; -
é fechado sob soma: se então ; -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e então .
-
- Observação didática: basta encontrar um dos itens 2 ou 3 violado (ou o zero ausente) para concluir que não é subespaço. Muitas vezes é mais fácil testar fechamento por escalares ou por soma com um exemplo simples.
- Importante: a condição que define
, , é uma relação não linear (quadrática) entre coordenadas — isso já dá uma pista: subespaços são definidos por equações lineares homogêneas (por exemplo ), então quando vemos um quadrado desconfiamos que não será subespaço. Vamos provar isso com exemplos e argumento geral.
Passo 3
Verificação do vetor zero (passo rápido):
- O vetor zero é
. - Teste a condição de
: fica , que é verdadeiro. - Conclusão:
. Ter o zero é necessário, mas não é suficiente — precisamos testar fechamento.
Passo 4
Contraexemplo simples para fechamento por escalares (explicado passo a passo):
- Escolho um vetor de
fácil de ver: . - Verifico que
porque e e .
- Verifico que
- Agora escolho um escalar simples:
. - Calculo
: - Para que
pertença a teria que valer . - Mas
, então a igualdade é falsa. - Conclusão:
. Portanto não é fechado sob multiplicação por escalares e assim não é subespaço vetorial.
Passo 5
Contraexemplo para fechamento por soma (opcional, reforçando a intuição):
- Tome
e . - Ambos pertencem a
porque para cada um e , e .
- Ambos pertencem a
- Some-os:
- Para que
precisaria que , o que é falso. - Conclusão alternativa:
não é fechado sob soma.
Passo 6
Argumento geral (mais matemático, mas ainda didático) que explica o porquê em termos algébricos:
- Um vetor genérico de
pode ser escrito como . - Multiplicando por um escalar
obtemos . - Para que esse vetor esteja em
deve valer a condição do primeiro componente igual ao quadrado do segundo: - Isso implica
- Para
isso exige , ou seja , então ou . Mas a multiplicação por escalares deve funcionar para qualquer . Como não vale para, por exemplo, , temos contradição. - Assim, de forma geral,
não é fechado por multiplicação escalar porque a condição é quadrática em .
Passo 7
Resumo final do raciocínio:
- Mostramos explicitamente um vetor em
cujo múltiplo por não está em . - Mostramos também que a condição
é não linear e impede o fechamento por escalares (argumento geral). - Portanto
não satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço vetorial.
Resposta
Não;
não é subespaço vetorial de
.