Verifique se os vetores geram o espaço vetorial \mathbb{R}^{3}
\vec{v}=(1,0,3), \vec{u}=(-1,2,4) e \vec{w}=(3,-2,5)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores dados geram o espaço vetorial \mathbb{R}^{3}.
Vetores fornecidos:
\vec{v}=(1,0,3),\quad \vec{u}=(-1,2,4),\quad \vec{w}=(3,-2,5).
O que precisamos decidir: se a combinação linear de \vec{v},\vec{u},\vec{w} consegue produzir qualquer vetor de \mathbb{R}^{3}; em outras palavras, se \operatorname{span}\{\vec{v},\vec{u},\vec{w}\}=\mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Vou escolher um método prático: montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante dessa matriz. Rápida razão disso (sem usar jargão pesado agora): para três vetores em \mathbb{R}^{3}, se a matriz 3×3 formada por eles tem determinante diferente de zero, então as colunas são linearmente independentes e, sendo três vetores independentes em \mathbb{R}^{3}, eles formam uma base — logo geram todo \mathbb{R}^{3}. Se o determinante for zero, não geram. Vou mostrar esse raciocínio passo a passo.

Passo 3

Formo a matriz A colocando \vec{v},\vec{u},\vec{w} como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 2 & -2\\[4pt] 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Lembrete rápido sobre determinante de 3\times3. Para
M=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
o determinante é
\det(M)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Cada termo é um produto de um elemento da primeira linha por um determinante 2\times2 (esses determinantes 2\times2 chamamos de menores).]

Passo 5

Aplicando a fórmula à nossa matriz A: identifiquei
a=1,\\ b=-1,\\ c=3,\\ d=0,\\ e=2,\\ f=-2,\\ g=3,\\ h=4,\\ i=5.
Agora calculo cada menor 2\times2:
Menor associado a a=1:
\det\begin{pmatrix} e & f\\[4pt] h & i\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} 2 & -2\\[4pt] 4 & 5\end{pmatrix} =2\cdot5 - (-2)\cdot4=10+8=18.
Menor associado a b=-1:
\det\begin{pmatrix} d & f\\[4pt] g & i\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} 0 & -2\\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix} =0\cdot5 - (-2)\cdot3=0+6=6.
Menor associado a c=3:
\det\begin{pmatrix} d & e\\[4pt] g & h\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} 0 & 2\\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix} =0\cdot4 - 2\cdot3=0-6=-6.]

Passo 6

Substituindo na fórmula do determinante:
\det(A)=a\cdot 18 - b\cdot 6 + c\cdot(-6).
Lembre que b=-1, então cuidado com sinal. Fazendo as contas:
\det(A)=1\cdot18 - (-1)\cdot6 + 3\cdot(-6)=18+6-18=6.

Passo 7

Interpretação do resultado: como \det(A)=6\neq0, a matriz A é invertível. Isso implica que as colunas de A (que são \vec{v},\vec{u},\vec{w}) são linearmente independentes. Três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} formam uma base, então eles geram todo \mathbb{R}^{3}. Em linguagem de prova curta: o sistema
c_{1}\vec{v}+c_{2}\vec{u}+c_{3}\vec{w}=\vec{b}
tem solução único para qualquer \vec{b}\in\mathbb{R}^{3} porque a matriz dos coeficientes é invertível.

Resposta

Sim — geram \mathbb{R}^{3}.

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