O que precisamos decidir: se a combinação linear de \vec{v},\vec{u},\vec{w} consegue produzir qualquer vetor de \mathbb{R}^{3}; em outras palavras, se \operatorname{span}\{\vec{v},\vec{u},\vec{w}\}=\mathbb{R}^{3}.
Passo 2
Vou escolher um método prático: montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante dessa matriz. Rápida razão disso (sem usar jargão pesado agora): para três vetores em \mathbb{R}^{3}, se a matriz 3×3 formada por eles tem determinante diferente de zero, então as colunas são linearmente independentes e, sendo três vetores independentes em \mathbb{R}^{3}, eles formam uma base — logo geram todo \mathbb{R}^{3}. Se o determinante for zero, não geram. Vou mostrar esse raciocínio passo a passo.
Passo 3
Formo a matriz A colocando \vec{v},\vec{u},\vec{w} como colunas:
Interpretação do resultado: como \det(A)=6\neq0, a matriz A é invertível. Isso implica que as colunas de A (que são \vec{v},\vec{u},\vec{w}) são linearmente independentes. Três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} formam uma base, então eles geram todo \mathbb{R}^{3}. Em linguagem de prova curta: o sistema
c_{1}\vec{v}+c_{2}\vec{u}+c_{3}\vec{w}=\vec{b}
tem solução único para qualquer \vec{b}\in\mathbb{R}^{3} porque a matriz dos coeficientes é invertível.