Dados relevantes: as entradas dessa matriz (já escritas acima) e o pedido de verificar ortogonalidade e, se for o caso, identificar se é rotação.]
Passo 2
Definição e estratégia (rápida e prática): uma matriz real A é ortogonal se e somente se
A^{T}A=I.
Uma forma prática de checar isso é verificar se as colunas de A formam um conjunto ortonormal: isto é, cada coluna tem norma 1 (vetor unitário) e cada par de colunas é ortogonal (produto interno zero). Vou usar essa verificação coluna a coluna — é a forma que você consegue fazer rápido numa prova sem calcular toda A^TA.
Resumo até aqui: c_1 e c_3 são unitários, mas c_2 não é unitário (\|c_2\|^2=\tfrac{5}{2}). Já com isso percebemos que as colunas não são todas unitárias, então não podem formar um conjunto ortonormal.
Passo 7
Verificação dos produtos internos entre colunas (mostro porque é útil: mesmo que as normas fossem 1, seria preciso checar ortogonalidade mútua). Calculo c_1\cdot c_2, c_1\cdot c_3 e c_2\cdot c_3.
Conclusão sobre ortogonalidade: como as colunas não são todas unitárias (já vimos \|c_2\|^2=\tfrac{5}{2}) e além disso c_2\cdot c_3=-\tfrac{1}{2}\neq0, as colunas não formam um conjunto ortonormal. Logo
A^{T}A\neq I
e a matriz A não é ortogonal.
Passo 9
O que isso implica sobre representar rotações: uma matriz que represente uma rotação no espaço euclidiano tem que ser ortogonal e ter determinante +1. Como A não é ortogonal, não pode representar uma rotação (nem uma rotação composta com reflexão). Para completar, se quisesse saber o determinante, ele não seria +1 nem -1 (de fato, calculando explicitamente obtém-se \det(A)=-\tfrac{3}{2}), o que confirma que A não tem a forma de uma matriz ortogonal.
Resposta
A matriz não é ortogonal; portanto não representa rotação.