Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações:
\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\\\ 0 & \frac{2}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\\ \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz abaixo é ortogonal e, caso seja, determinar se ela representa uma rotação. A matriz dada é
A= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\[4pt] 0 & \frac{2}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\[4pt] \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.
Dados relevantes: as entradas dessa matriz (já escritas acima) e o pedido de verificar ortogonalidade e, se for o caso, identificar se é rotação.]

Passo 2

Definição e estratégia (rápida e prática): uma matriz real A é ortogonal se e somente se
A^{T}A=I.
Uma forma prática de checar isso é verificar se as colunas de A formam um conjunto ortonormal: isto é, cada coluna tem norma 1 (vetor unitário) e cada par de colunas é ortogonal (produto interno zero). Vou usar essa verificação coluna a coluna — é a forma que você consegue fazer rápido numa prova sem calcular toda A^TA.

Passo 3

Vou extrair as colunas de A. Denotemos
c_1=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\\[4pt]0\\[4pt]\frac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\\[4pt]\frac{2}{\sqrt{2}}\\[4pt]-\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\\[4pt]-\frac{1}{\sqrt{2}}\\[4pt]-\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}.
Lembrete curto sobre produto interno e norma: para vetores em \mathbb{R}^3,
u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
e a norma ao quadrado é \|u\|^2 = u\cdot u. Vou calcular \|c_i\|^2 e c_i\cdot c_j explicitamente.]

Passo 4

Norma de c_1. Calculo \|c_1\|^2:
\|c_1\|^2=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+0^2+\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^2 =\frac{1}{3}+0+\frac{4}{6} =\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1.
Portanto \|c_1\|=1 (ou seja, c_1 é unitário).

Passo 5

Norma de c_2. Calculo \|c_2\|^2:
\|c_2\|^2=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2 =\frac{1}{3}+\frac{4}{2}+\frac{1}{6} =\frac{1}{3}+2+\frac{1}{6}.
Colocando em denominador 6:
\frac{2}{6}+\frac{12}{6}+\frac{1}{6}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}.
Logo \|c_2\|^2=\frac{5}{2}\neq1. Assim c_2 não é unitário.

Passo 6

Norma de c_3. Calculo \|c_3\|^2:
\|c_3\|^2=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2 =\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}.
Colocando em denominador 6:
\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1.
Portanto \|c_3\|=1.
Resumo até aqui: c_1 e c_3 são unitários, mas c_2 não é unitário ( \|c_2\|^2=\tfrac{5}{2}). Já com isso percebemos que as colunas não são todas unitárias, então não podem formar um conjunto ortonormal.

Passo 7

Verificação dos produtos internos entre colunas (mostro porque é útil: mesmo que as normas fossem 1, seria preciso checar ortogonalidade mútua). Calculo c_1\cdot c_2, c_1\cdot c_3 e c_2\cdot c_3.
Primeiro,
c_1\cdot c_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}+0\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{6}}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) =\frac{1}{3}-\frac{2}{6}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0.
Depois,
c_1\cdot c_3=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}+0\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\frac{2}{\sqrt{6}}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) =\frac{1}{3}-\frac{2}{6}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0.
Então c_1 é ortogonal a c_2 e a c_3. Finalmente,
c_2\cdot c_3=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) =\frac{1}{3}-\frac{2}{2}+\frac{1}{6} =\frac{1}{3}-1+\frac{1}{6}.
Colocando em denominador 6:
\frac{2}{6}-\frac{6}{6}+\frac{1}{6}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\neq0.
Portanto c_2 e c_3 não são ortogonais entre si.

Passo 8

Conclusão sobre ortogonalidade: como as colunas não são todas unitárias (já vimos \|c_2\|^2=\tfrac{5}{2}) e além disso c_2\cdot c_3=-\tfrac{1}{2}\neq0, as colunas não formam um conjunto ortonormal. Logo
A^{T}A\neq I
e a matriz A não é ortogonal.

Passo 9

O que isso implica sobre representar rotações: uma matriz que represente uma rotação no espaço euclidiano tem que ser ortogonal e ter determinante +1. Como A não é ortogonal, não pode representar uma rotação (nem uma rotação composta com reflexão). Para completar, se quisesse saber o determinante, ele não seria +1 nem -1 (de fato, calculando explicitamente obtém-se \det(A)=-\tfrac{3}{2}), o que confirma que A não tem a forma de uma matriz ortogonal.

Resposta

A matriz não é ortogonal; portanto não representa rotação.

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