Dada a transformagão \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} L(x, y)=(y, 3 x, x-y)
a) mostre que é uma transformaçõe linear
b) encontre a matriz

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear proposta
L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3,\qquad L(x,y)=(y,\,3x,\,x-y).
Pede-se:
a) mostrar que L é uma transformação linear;
b) encontrar a matriz de L (presumivelmente em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3).
Informações relevantes: domínio \mathbb{R}^2, contradomínio \mathbb{R}^3, fórmula explícita de L.

Passo 2

Definição e estratégia. Uma aplicação L é linear se satisfaz duas propriedades para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}:
\text{(1) }L(u+v)=L(u)+L(v) \qquad\text{e}\qquad \text{(2) }L(c\,u)=c\,L(u).
Vou verificar essas propriedades calculando com componentes. Isso é direto e é o jeito padrão de provar linearidade quando temos uma fórmula componente a componente.

Passo 3

Verificação da aditividade. Tome u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando L ao somatório:
L(u+v)=L(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=(y_1+y_2,\;3(x_1+x_2),\;(x_1+x_2)-(y_1+y_2)).
Agora calcule L(u)+L(v) separadamente:
L(u)=(y_1,\;3x_1,\;x_1-y_1),\qquad L(v)=(y_2,\;3x_2,\;x_2-y_2).
Somando componente a componente:
L(u)+L(v)=(y_1+y_2,\;3x_1+3x_2,\; (x_1-y_1)+(x_2-y_2)).
Observa-se que as duas expressões coincidem, pois 3(x_1+x_2)=3x_1+3x_2 e (x_1+x_2)-(y_1+y_2)=(x_1-y_1)+(x_2-y_2). Logo L(u+v)=L(u)+L(v).

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y). Temos
c\,u=(c x,\;c y).
Aplicando L:
L(cu)=L(c x,\;c y)=(c y,\;3(c x),\;c x-c y).
Fatorando c em cada componente:
L(cu)=(c y,\;c(3x),\;c(x-y))=c\,(y,\;3x,\;x-y)=c\,L(x,y).
Portanto L(cu)=c\,L(u) para todo escalar c.

Passo 5

Conclusão da linearidade. Como verificamos ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade), concluímos que L é linear.

Passo 6

Matriz da transformação. Para obter a matriz de L nas bases canônicas, lembro que as colunas da matriz são as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^2. A base canônica de \mathbb{R}^2 é
e_1=(1,0),\qquad e_2=(0,1).

Passo 7

Calcular as imagens dos vetores da base canônica:
L(e_1)=L(1,0)=(0,\;3\cdot1,\;1-0)=(0,3,1),
L(e_2)=L(0,1)=(1,\;3\cdot0,\;0-1)=(1,0,-1).
Essas são as colunas da matriz A de L (primeira coluna L(e_1), segunda coluna L(e_2)). Assim
A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] 3 & 0\\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida: para v=(x,y) escrito como coluna, multiplicando A por v
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot x + 1\cdot y\\[4pt] 3\cdot x + 0\cdot y\\[4pt] 1\cdot x + (-1)\cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y\\[4pt] 3x\\[4pt] x-y \end{pmatrix},
que é exatamente L(x,y). Isso confirma que a matriz encontrada representa a transformação.]

Resposta

a) L é linear.\n
b) \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 3 & 0\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}

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