Pede-se:
a) mostrar que L é uma transformação linear;
b) encontrar a matriz de L (presumivelmente em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3).
Informações relevantes: domínio \mathbb{R}^2, contradomínio \mathbb{R}^3, fórmula explícita de L.
Passo 2
Definição e estratégia. Uma aplicação L é linear se satisfaz duas propriedades para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}:
Vou verificar essas propriedades calculando com componentes. Isso é direto e é o jeito padrão de provar linearidade quando temos uma fórmula componente a componente.
Passo 3
Verificação da aditividade. Tome u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
Conclusão da linearidade. Como verificamos ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade), concluímos que L é linear.
Passo 6
Matriz da transformação. Para obter a matriz de L nas bases canônicas, lembro que as colunas da matriz são as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^2. A base canônica de \mathbb{R}^2 é
e_1=(1,0),\qquad e_2=(0,1).
Passo 7
Calcular as imagens dos vetores da base canônica:
L(e_1)=L(1,0)=(0,\;3\cdot1,\;1-0)=(0,3,1),
L(e_2)=L(0,1)=(1,\;3\cdot0,\;0-1)=(1,0,-1).
Essas são as colunas da matriz A de L (primeira coluna L(e_1), segunda coluna L(e_2)). Assim