Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações: \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\\ \frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right)
é ortogonal e, se for ortogonal, dizer se ela representa uma rotação. As informações dadas são exatamente os quatro elementos de A. Vou checar ortogonalidade e depois o determinante para decidir se é rotação.]
Passo 2
O que significa “matriz ortogonal”? Uma matriz quadrada A é ortogonal se satisfaz
A^{T}A=I,
ou seja, as colunas de A (ou as linhas) formam um conjunto ortonormal. “Ortonormal” quer dizer: cada vetor coluna tem norma 1 e colunas diferentes são ortogonais (produto interno igual a 0). Vou usar essa forma prática: checar normas das colunas e o produto interno entre elas.
Como \|v_{1}\|=\|v_{2}\|=1 e v_{1}\cdot v_{2}=0, as colunas são ortonormais, logo A^{T}A=I e A é ortogonal.
Passo 7
Agora, para decidir se a matriz ortogonal representa uma rotação: no caso 2\times2, uma matriz ortogonal representa uma rotação propriamente dita se e somente se o seu determinante é +1. Se o determinante for -1 ela é ortogonal mas inverte orientação (é reflexão ou rotação seguida de reflexão), ou seja, não é uma rotação pura.
Passo 8
Calculo do determinante de A. Se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, então \det(A)=ad-bc. Aqui
Como \det(A)=-1, a matriz A é ortogonal (conforme encontrado antes) mas não representa uma rotação no plano; ela inverte orientação (é uma reflexão ou uma rotação seguida de reflexão), portanto não é uma rotação pura.
Resposta
A é ortogonal.
A não representa uma rotação (pois \det(A)=-1).