Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações:
\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\\ \frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{5}} & \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\[4pt] \dfrac{2}{\sqrt{5}} & -\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}
é ortogonal e, se for ortogonal, dizer se ela representa uma rotação. As informações dadas são exatamente os quatro elementos de A. Vou checar ortogonalidade e depois o determinante para decidir se é rotação.]

Passo 2

O que significa “matriz ortogonal”? Uma matriz quadrada A é ortogonal se satisfaz
A^{T}A=I,
ou seja, as colunas de A (ou as linhas) formam um conjunto ortonormal. “Ortonormal” quer dizer: cada vetor coluna tem norma 1 e colunas diferentes são ortogonais (produto interno igual a 0). Vou usar essa forma prática: checar normas das colunas e o produto interno entre elas.

Passo 3

Escrevo as colunas de A como vetores:
v_{1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{5}}\\[4pt]\dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix},\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\[4pt]-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}.
Agora vou calcular \|v_{1}\|, \|v_{2}\| e o produto interno v_{1}\cdot v_{2}.]

Passo 4

Calculo da norma ao quadrado de v_{1}:
\|v_{1}\|^{2}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^{2}+\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2} =\dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{5}{5}=1.
Portanto \|v_{1}\|=\sqrt{1}=1.

Passo 5

Calculo da norma ao quadrado de v_{2}:
\|v_{2}\|^{2}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2}+\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^{2} =\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{5}=1.
Portanto \|v_{2}\|=1.

Passo 6

Calculo do produto interno entre v_{1} e v_{2}:
v_{1}\cdot v_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{5}}+\dfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) =\dfrac{2}{5}-\dfrac{2}{5}=0.
Como \|v_{1}\|=\|v_{2}\|=1 e v_{1}\cdot v_{2}=0, as colunas são ortonormais, logo A^{T}A=I e A é ortogonal.

Passo 7

Agora, para decidir se a matriz ortogonal representa uma rotação: no caso 2\times2, uma matriz ortogonal representa uma rotação propriamente dita se e somente se o seu determinante é +1. Se o determinante for -1 ela é ortogonal mas inverte orientação (é reflexão ou rotação seguida de reflexão), ou seja, não é uma rotação pura.

Passo 8

Calculo do determinante de A. Se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, então \det(A)=ad-bc. Aqui
a=\dfrac{1}{\sqrt{5}},\quad b=\dfrac{2}{\sqrt{5}},\quad c=\dfrac{2}{\sqrt{5}},\quad d=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}.
Portanto
\det(A)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)-\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) =\dfrac{-1}{5}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{-5}{5}=-1.

Passo 9

Como \det(A)=-1, a matriz A é ortogonal (conforme encontrado antes) mas não representa uma rotação no plano; ela inverte orientação (é uma reflexão ou uma rotação seguida de reflexão), portanto não é uma rotação pura.

Resposta

A é ortogonal.
A não representa uma rotação (pois \det(A)=-1).

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