Para verificar se as séries abaixo converge ou diverge use um dos critérios de convergência: a) Critério da raiz b) Critério da razão c) Critério da comparação d) Critério da comparação no limite e) Critério da integral d) Critério do termo geral f) Critério para série alternada g) Critério da convergência absoluta h) “Critério da Série geométrica”
Observação 1. Tem uma série para cada critério, não repetir o critério usado.
sumn=1^+infty raizn+4n^4+4

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos estudar a convergência da série
sumn=1^infty an, an = raizn+4n^4+4
O conteúdo é séries de termos positivos e vamos usar o crité­rio da comparação no limite (item d), comparando com uma série p‐série que a gente já conhece.

Passo 2

Identificamos uma série simples para comparar: a p‐série
sumn=1^infty bn, bn = 1n^3/2,
que converge pois tem p=tfrac32>1. Vamos calcular
L = limntoinfty anbn

Passo 3

Escrevendo o quociente:
anbn = raizn+4n^4+4;l(n^3/2r) = raizn^3(n+4),n^4+4,
Então
L = raizlimntoinftyn^4+4n^3n^4+4 = raiz1+01+0 = 1

Passo 4

Como 0< L<infty, o critério da comparação no limite diz que sum an converge se, e somente se, sum bn converge. Já que sum bn é p‐série com p=tfrac32>1, ela converge. Logo sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyraizn+4n^4+4 converge, por comparação no limite.

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