Para verificar se as séries abaixo converge ou diverge use um dos critérios de convergência: a) Critério da raiz b) Critério da razão c) Critério da comparação d) Critério da comparação no limite e) Critério da integral d) Critério do termo geral f) Critério para série alternada g) Critério da convergência absoluta h) “Critério da Série geométrica”
Observação 1. Tem uma série para cada critério, não repetir o critério usado.
sumn=2^infty 1n(ln (n))^2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=2^infty 1n(ln(n))^2
e usar cada critério de convergência apenas uma vez. Aqui escolhemos o critério da integral.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 1xl(ln(x)r)^2,
para x>=2. Observamos que f(x)>0, é contínua e decrescente em [2,infty), pois o denominador cresce quando x e ln(x) crescem.

Passo 3

Aplicamos o critério da integral, estudando a integral imprópria
integral2^infty 1x(ln(x))^2,dx
Fazemos a mudança de variável u=ln(x), logo du=dxx. Quando x=2 tem u=ln(2) e quando xtoinfty tem utoinfty. Assim
integral2^infty 1x(ln(x))^2,dx = integralln(2)^infty 1u^2,du = l[-tfrac1ur]ln(2)^infty = 1ln(2)<infty
Como essa integral converge, a série original também converge pelo critério da integral.

Resposta

A série
sumn=2^infty 1n(ln(n))^2
converge pelo critério da integral.

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