Para verificar se as séries abaixo converge ou diverge use um dos critérios de convergência: a) Critério da raiz b) Critério da razão c) Critério da comparação d) Critério da comparação no limite e) Critério da integral d) Critério do termo geral f) Critério para série alternada g) Critério da convergência absoluta h) “Critério da Série geométrica”
Observação 1. Tem uma série para cada critério, não repetir o critério usado.
sumn=1^+infty n^2(n+2)!n!3^2 n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^+inftyn^2(n+2)!n!,3^2n
e usar um critério distinto para cada série. Aqui vamos usar o Critério da razão, que consiste em calcular
L = limntoinftyan+1an
e verificar se L<1 (converge), L>1 (diverge) ou L=1 (inconclusivo).

Passo 2

Definimos o termo geral
an=n^2(n+2)!n!,3^2n
Primeiro simplificamos (n+2)!/n!=(n+2)(n+1), logo
an=n^2(n+1)(n+2)9^n

Passo 3

Escrevemos também an+1 e montamos a razão:
an+1 =(n+1)^2(n+2)(n+3)9^,n+1, an+1an =(n+1)^2(n+2)(n+3)9^n+1 cdot9^nn^2(n+1)(n+2) =(n+1)(n+3)9,n^2

Passo 4

Calculamos o limite da razão:
L=limntoinfty(n+1)(n+3)9,n^2 =limntoinftyn^2+4n+39,n^2 =19<1

Passo 5

Como L<1, o Critério da razão garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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