Use o critério da razão para determinar todos os valores de x para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas são divergentes.
\sum(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o critério da razão à série
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{x^{2n}}{(2n)!}
e determinar para quais valores de x ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o critério da razão, que compara \bigl|a_{n+1}/a_n\bigr| e avalia seu limite.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = (-1)^{n}\,\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
Aplicando o critério da razão, calculamos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(-1)^{n+1}\,x^{2(n+1)}/(2n+2)!}{(-1)^n\,x^{2n}/(2n)!}\right| = \frac{|x|^{2}}{(2n+2)(2n+1)}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite dessa razão quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+2)(2n+1)} = 0.
Como L=0<1 independente de x, o critério da razão garante convergência absoluta para todo x.

Passo 4

Quando o critério da razão dá L<1, a série converge absolutamente (e, portanto, converge). Aqui isso ocorre para qualquer valor real de x. Não há nenhum valor de x que torne L\ge1.

Resposta

A série converge para todo x\in\mathbb{R} e não diverge para nenhum x real.

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