Use o critério da razão para determinar todos os valores de x para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas são divergentes. \sum(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o critério da razão à série
e determinar para quais valores de x ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o critério da razão, que compara \bigl|a_{n+1}/a_n\bigr| e avalia seu limite.
Agora avaliamos o limite dessa razão quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+2)(2n+1)} = 0.
Como L=0<1independente de x, o critério da razão garante convergência absoluta para todo x.
Passo 4
Quando o critério da razão dá L<1, a série converge absolutamente (e, portanto, converge). Aqui isso ocorre para qualquer valor real de x. Não há nenhum valor de x que torne L\ge1.
Resposta
A série converge para todo x\in\mathbb{R} e não diverge para nenhum x real.