Verificar se as séries \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_{n}, com as a_{n} dadas abaixo, são divergentes, condicionalmente convergentes ou absolutamente convergentes. (Observe que neste exercício não é possível aplicar o Critério da série alternada). Sugestão: pense na sequência das reduzidas. a_{2 n-1}=\frac{1}{4 n-1} e a_{2 n}=\frac{1}{4 n+3}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O objetivo é decidir se ela é divergente, absolutamente convergente ou convergente apenas condicionalmente. Como não podemos usar direto o Critério da Série Alternada, vamos agrupar termos em pares (a tal “sequência das reduzidas”) para analisar a convergência.
Passo 2
Definimos a soma parcial de ordem par agrupada como
quando k é grande. Como \sum1/k diverge, pelo Critério da Comparação por limite a soma \sum(a_{2k-1}+a_{2k}) diverge. Logo \sum a_{n} diverge, isto é, a série não é absolutamente convergente.
Resposta
A série converge, mas não converge absolutamente. Portanto ela é condicionalmente convergente.