Verificar se as séries \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_{n}, com as a_{n} dadas abaixo, são divergentes, condicionalmente convergentes ou absolutamente convergentes. (Observe que neste exercício não é possível aplicar o Critério da série alternada). Sugestão: pense na sequência das reduzidas.
a_{2 n-1}=\frac{1}{4 n-1} e a_{2 n}=\frac{1}{4 n+3}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_{n},
onde
a_{2n-1}=\frac{1}{4n-1},\quad a_{2n}=\frac{1}{4n+3}.
O objetivo é decidir se ela é divergente, absolutamente convergente ou convergente apenas condicionalmente. Como não podemos usar direto o Critério da Série Alternada, vamos agrupar termos em pares (a tal “sequência das reduzidas”) para analisar a convergência.

Passo 2

Definimos a soma parcial de ordem par agrupada como
S_{2N}=\sum_{n=1}^{2N}(-1)^{n+1}a_{n} =\sum_{k=1}^{N}\bigl(a_{2k-1}-a_{2k}\bigr).
Chame
b_{k}=a_{2k-1}-a_{2k} =\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k+3} =\frac{(4k+3)-(4k-1)}{(4k-1)(4k+3)} =\frac{4}{(4k-1)(4k+3)}.
Para k grande, (4k-1)(4k+3)\sim16k^{2}, logo
b_{k}\sim\frac{4}{16k^{2}}=\frac{1}{4k^{2}}.
Como \sum1/k^{2} converge, pelo Critério da Comparação por limite, \sum b_{k} também converge. Portanto S_{2N} converge quando N\to\infty.

Passo 3

Falta ver a soma parcial de ordem ímpar
S_{2N+1} =S_{2N}+(-1)^{2N+2}a_{2N+1} =S_{2N}+a_{2N+1}.
Como a_{2N+1}=\tfrac{1}{4(N+1)-1}=\tfrac{1}{4N+3}\to0, temos
\lim_{N\to\infty}S_{2N+1} =\lim_{N\to\infty}S_{2N} =\text{(mesmo limite finito)}.
Assim a série original converge.

Passo 4

Para testar convergência absoluta, considere
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n+1}a_{n}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} =\sum_{k=1}^{\infty}\bigl(a_{2k-1}+a_{2k}\bigr).
Mas
a_{2k-1}+a_{2k} =\frac{1}{4k-1}+\frac{1}{4k+3} \sim\frac{1}{4k}+\frac{1}{4k}=\frac{1}{2k}
quando k é grande. Como \sum1/k diverge, pelo Critério da Comparação por limite a soma \sum(a_{2k-1}+a_{2k}) diverge. Logo \sum a_{n} diverge, isto é, a série não é absolutamente convergente.

Resposta

A série converge, mas não converge absolutamente. Portanto ela é condicionalmente convergente.

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