Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \tan ^{5} 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \tan^{5}(3x)\,dx.
Aqui o conteúdo é integração de potências ímpares de tangente. Vamos usar a identidade \tan^{2}\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta - 1
e a substituição u = \operatorname{sec}(3x).

Passo 2

Separe um fator de \tan(3x)\,dx e escreva o restante em termos de \tan^{2}(3x):
\int \tan^{5}(3x)\,dx = \int \bigl[\tan^{4}(3x)\bigr]\tan(3x)\,dx = \int \bigl[\tan^{2}(3x)\bigr]^{2}\,\tan(3x)\,dx.
Agora use \tan^{2}(3x)=\operatorname{sec}^{2}(3x)-1 para transformar:
\bigl[\tan^{2}(3x)\bigr]^{2} = \bigl[\operatorname{sec}^{2}(3x)-1\bigr]^{2}.

Passo 3

Para aproveitar a derivada de \operatorname{sec}(3x), faça
u = \operatorname{sec}(3x), \quad du = 3\,\operatorname{sec}(3x)\tan(3x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec}(3x)\tan(3x)\,dx = \frac{du}{3}.
Observe que ainda temos um fator de \tan(3x)\,dx, mas podemos inserir e retirar um \operatorname{sec}(3x) para usar o du.

Passo 4

Reescreva a integral em u. Temos
\int \bigl[\operatorname{sec}^{2}(3x)-1\bigr]^{2}\,\tan(3x)\,dx = \int \bigl(u^{2}-1\bigr)^{2}\,\frac{\operatorname{sec}(3x)\tan(3x)\,dx}{\operatorname{sec}(3x)} = \int \bigl(u^{2}-1\bigr)^{2}\,\frac{1}{u}\,\frac{du}{3}.
Logo
\int \tan^{5}(3x)\,dx = \frac{1}{3}\int (u^{2}-1)^{2}\,u^{-1}\,du.

Passo 5

Expanda o polinômio e integre termo a termo:
(u^{2}-1)^{2}\,u^{-1} = (u^{4}-2u^{2}+1)\,u^{-1} = u^{3}-2u+u^{-1}.
Então
\frac{1}{3}\int (u^{3}-2u+u^{-1})\,du = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{u^{4}}{4} - u^{2} + \ln|u|\Bigr) + C = \frac{u^{4}}{12} - \frac{u^{2}}{3} + \frac{1}{3}\ln|u| + C.

Passo 6

Volte à variável x usando u=\operatorname{sec}(3x). Assim o resultado final é
\frac{\operatorname{sec}^{4}(3x)}{12} -\frac{\operatorname{sec}^{2}(3x)}{3} +\frac{1}{3}\ln\bigl|\operatorname{sec}(3x)\bigr| + C.

Resposta

\int \tan^{5}(3x)\,dx = \frac{\operatorname{sec}^{4}(3x)}{12} -\frac{\operatorname{sec}^{2}(3x)}{3} +\frac{1}{3}\ln\bigl|\operatorname{sec}(3x)\bigr| + C.

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