Determinar a posição relativa entre os planos: \pi_{1}: x+y-2 z+2=0, \pi_{2}:-3 x-3 y+z-6=0 e \pi_{3}: 4 x+4 y-3 z+8=0
Passo 1
O enunciado pede: determinar a posição relativa entre os três planos dados. Ou seja, precisamos dizer se são paralelos, coincidentes, se se intersectam numa reta comum, se têm um ponto em comum, etc. As informações fornecidas são as equações dos planos: \pi_{1}: x+y-2z+2=0, \pi_{2}:-3x-3y+z-6=0, \pi_{3}:4x+4y-3z+8=0.
Passo 2
Primeiro conceito importante (aula rápida): um plano escrito como \;ax+by+cz+d=0\; tem como vetor normal (vetor perpendicular ao plano) o vetor \;(a,b,c). Esse vetor normal é muito útil: se dois vetores normais são múltiplos escalares, os planos são paralelos (ou coincidentes, se também o termo constante for proporcional). Se três vetores normais são linearmente independentes, os três planos têm interseção num ponto único.
Agora extraímos os normais dos três planos:
o normal de \pi_{1} é \;n_{1}=(1,1,-2)\;,
o normal de \pi_{2} é \;n_{2}=(-3,-3,1)\;,
o normal de \pi_{3} é \;n_{3}=(4,4,-3)\;.
Passo 3
Vamos checar rapidamente se algum par de normais é múltiplo escalar (o que faria planos paralelos ou coincidentes). Para n_{1} e n_{2} calculamos as razões coordenada a coordenada: \dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}, \dfrac{-2}{1}=-2.
Como essas razões não são todas iguais, n_{1} não é múltiplo de n_{2}. Mesmo raciocínio para os outros pares: n_{1} e n_{3} têm razões \dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4},\dfrac{-2}{-3} que não coincidem. Logo, nenhum par de normais é múltiplo escalar: os planos não são pares de planos paralelos nem coincidentes.
Passo 4
Agora vemos se os três normais são linearmente independentes (caso em que os planos se cruzariam num ponto). Colocando os coeficientes em matriz (linhas = normais):
Note que a primeira e a segunda colunas são idênticas (ambas são (1,-3,4)^{T}). Quando uma matriz tem duas colunas iguais, seu determinante é zero. Portanto \det(A)=0, o que significa que n_{1},n_{2},n_{3} são linearmente dependentes. Conclusão: os três planos não se intersectam em um ponto único (não há interseção pontual comum dos três).]
Passo 5
Quando os normais são linearmente dependentes e os planos não são paralelos, um caso comum é que os três planos se intersectem ao longo de uma mesma reta. Para entender a direção dessa reta: se existe uma reta comum, sua direção v é ortogonal a cada normal (porque a reta está dentro de cada plano). Então procuramos um vetor v=(v_{1},v_{2},v_{3}) tal que
Observando n_{1},n_{2},n_{3}, percebemos que as duas primeiras coordenadas são iguais em cada normal. Assim o vetor v=(1,-1,0) satisfaz:
n_{1}\cdot v = 1\cdot1 + 1\cdot(-1) + (-2)\cdot0 = 0,
n_{2}\cdot v = -3\cdot1 + (-3)\cdot(-1) + 1\cdot0 = 0,
n_{3}\cdot v = 4\cdot1 + 4\cdot(-1) + (-3)\cdot0 = 0.
Logo v=(1,-1,0) é um vetor direcional comum — indica que, se houver interseção comum, ela será uma reta com direção (1,-1,0).
Passo 6
Agora encontramos explicitamente a reta de interseção resolvendo duas equações de planos (basta usar duas, e depois verificar a terceira). Use \pi_{1} e \pi_{2}. Para simplificar, notei que as equações dependem de s:=x+y. Escrevo: \pi_{1}:\;s-2z+2=0 e \pi_{2}:\;-3s+z-6=0.
Da primeira obtemos \;s=2z-2. Substituindo na segunda:
Com z=0 vem s=x+y=2\cdot0-2=-2. Portanto as soluções comuns a \pi_{1} e \pi_{2} satisfazem
z=0,\qquad x+y=-2.
Parametrizando com parâmetro t, uma parametrização conveniente é:
x=t,\qquad y=-2-t,\qquad z=0,
ou em forma vetorial:
(x,y,z)=(0,-2,0)+t(1,-1,0).
Isto é uma reta com direção (1,-1,0), como previsto.
Passo 7
Verificamos que essa mesma reta está em \pi_{3}. Substituindo x=t,\;y=-2-t,\;z=0 em \pi_{3}:4x+4y-3z+8=0 temos:
4t + 4(-2-t) -3\cdot0 +8 = 4t -8 -4t +8 = 0,
logo a reta também satisfaz \pi_{3}. Portanto todas as três interseções par a par são a mesma reta.
Ainda é preciso garantir que os planos não sejam coincidentes (o que tornaria a “reta comum” só coincidência de dois sendo o terceiro igual). Já checamos que nenhum par de normais é múltiplo escalar; além disso, comparar coeficientes e termos independentes mostra que não há multiplicador \lambda tal que a equação de um plano seja \lambda vezes a de outro (por exemplo, -3\cdot\pi_{1} teria coeficiente de z igual a 6, diferente de 1 em \pi_{2}). Portanto os três planos são planos distintos.
Passo 8
Resumo lógico: os três planos são distintos (não coincidentes), não são pares de planos paralelos, e têm interseção comum que é exatamente a mesma reta. Ou seja, as três retas de interseção par a par coincidem numa reta única.
Resposta
Os três planos são distintos e concorrentes numa mesma reta: \{(x,y,z)\mid z=0,\;x+y=-2\}.\nEm forma paramétrica: (x,y,z)=(0,-2,0)+t(1,-1,0), t\in\mathbb{R}.