Dado os vetores
e
(vale 3)
a) determinar
tal que:
b) determinar o versor
, onde
a) determinar
b) determinar o versor
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede duas coisas:
- (a) determinar
tal que ; - (b) determinar o versor
, onde .
Informações relevantes fornecidas:
- As componentes de
são . - As componentes de
são . - Para resolver (a) é necessário manipular uma equação vetorial (operações lineares: soma de vetores e multiplicação por escalar).
- Para resolver (b) é necessário formar
, calcular seu módulo e normalizar (dividir por seu módulo) para obter o versor.
Passo 2
Começando por (a). Escrevemos a equação dada e expandimos o lado esquerdo:
Distribuindo o
no lado esquerdo:
Agora isolamos
. Primeiro agrupamos os termos com
no mesmo lado:
Simplificando os termos com
:
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Passo 3
Agora calculamos as componentes explicitamente. Primeiro
:
Somando com
:
Dividindo por
componente a componente:
Observação útil: pode-se fatorar
e escrever
, que é a mesma coisa.
Passo 4
Verificação rápida (opcional mas boa prática): calcular
usando a
encontrada e checar a igualdade inicial.
-
. -
.
Subtraindo:
Multiplicando por
:
E como
a igualdade é satisfeita. Então a
encontrada está correta.
Passo 5
Agora (b). Primeiro calculamos
componente a componente:
Passo 6
Precisamos do versor
, que é a normalização de
. Lembrete: o versor de um vetor
é
onde
é o módulo (norma Euclidiana) dado por
com
as componentes de
.
Calculamos o módulo de
:
Podemos fatorar
. Então
Passo 7
Finalmente o versor
é
(Se preferir, pode racionalizar denominadores: por exemplo
, e assim por diante.)
Resposta
(a)
(b)