Dado os vetores \vec{v}=(2,3,-6) e \vec{u}=(1,-2,4) (vale 3)
a) determinar \vec{w} tal que: 3(2 \vec{u}-3 \vec{w})=\vec{u}-\vec{v}
b) determinar o versor \hat{T}, onde \vec{T}=\vec{v}-\vec{u}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{v}=(2,3,-6) e \vec{u}=(1,-2,4) e pede duas coisas:
  • (a) determinar \vec{w} tal que 3(2\vec{u}-3\vec{w})=\vec{u}-\vec{v};
  • (b) determinar o versor \hat{T}, onde \vec{T}=\vec{v}-\vec{u}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As componentes de \vec{v} são (2,3,-6).
  • As componentes de \vec{u} são (1,-2,4).
  • Para resolver (a) é necessário manipular uma equação vetorial (operações lineares: soma de vetores e multiplicação por escalar).
  • Para resolver (b) é necessário formar \vec{T}=\vec{v}-\vec{u}, calcular seu módulo e normalizar (dividir por seu módulo) para obter o versor.

Passo 2

Começando por (a). Escrevemos a equação dada e expandimos o lado esquerdo:
3(2\vec{u}-3\vec{w})=\vec{u}-\vec{v}.
Distribuindo o 3 no lado esquerdo:
6\vec{u}-9\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}.
Agora isolamos \vec{w}. Primeiro agrupamos os termos com \vec{u} no mesmo lado:
-9\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}-6\vec{u}.
Simplificando os termos com \vec{u}:
-9\vec{w}=-5\vec{u}-\vec{v}.
Multiplicando ambos os lados por -1 e dividindo por 9:
\vec{w}=\frac{1}{9}(5\vec{u}+\vec{v}).

Passo 3

Agora calculamos as componentes explicitamente. Primeiro 5\vec{u}:
5\vec{u}=5(1,-2,4)=(5,-10,20).
Somando com \vec{v}=(2,3,-6):
5\vec{u}+\vec{v}=(5+2,\,-10+3,\,20-6)=(7,-7,14).
Dividindo por 9 componente a componente:
\vec{w}=\left(\frac{7}{9},-\frac{7}{9},\frac{14}{9}\right).
Observação útil: pode-se fatorar 7/9 e escrever \vec{w}=\dfrac{7}{9}(1,-1,2), que é a mesma coisa.

Passo 4

Verificação rápida (opcional mas boa prática): calcular 2\vec{u}-3\vec{w} usando a \vec{w} encontrada e checar a igualdade inicial.
  • 2\vec{u}=2(1,-2,4)=(2,-4,8).
  • 3\vec{w}=3\left(\frac{7}{9},-\frac{7}{9},\frac{14}{9}\right)=\left(\frac{7}{3},-\frac{7}{3},\frac{14}{3}\right).
    Subtraindo:
2\vec{u}-3\vec{w}=\left(2-\frac{7}{3},\,-4-(-\frac{7}{3}),\,8-\frac{14}{3}\right)=\left(-\frac{1}{3},-\frac{5}{3},\frac{10}{3}\right).
Multiplicando por 3:
3(2\vec{u}-3\vec{w})=(-1,-5,10).
E como
\vec{u}-\vec{v}=(1-2,\,-2-3,\,4-(-6))=(-1,-5,10),
a igualdade é satisfeita. Então a \vec{w} encontrada está correta.

Passo 5

Agora (b). Primeiro calculamos \vec{T}=\vec{v}-\vec{u} componente a componente:
\vec{T}=(2-1,\,3-(-2),\,-6-4)=(1,5,-10).

Passo 6

Precisamos do versor \hat{T}, que é a normalização de \vec{T}. Lembrete: o versor de um vetor \vec{a} é
\hat{a}=\frac{\vec{a}}{\lVert \vec{a}\rVert},
onde \lVert \vec{a}\rVert é o módulo (norma Euclidiana) dado por
\lVert \vec{a}\rVert=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2},
com a_x,a_y,a_z as componentes de \vec{a}.
Calculamos o módulo de \vec{T}=(1,5,-10):
\lVert \vec{T}\rVert=\sqrt{1^2+5^2+(-10)^2}=\sqrt{1+25+100}=\sqrt{126}.
Podemos fatorar \sqrt{126}=\sqrt{9\cdot14}=3\sqrt{14}. Então
\lVert \vec{T}\rVert=3\sqrt{14}.

Passo 7

Finalmente o versor \hat{T} é
\hat{T}=\frac{\vec{T}}{\lVert \vec{T}\rVert} =\frac{1}{3\sqrt{14}}(1,5,-10) =\left(\frac{1}{3\sqrt{14}},\frac{5}{3\sqrt{14}},-\frac{10}{3\sqrt{14}}\right).
(Se preferir, pode racionalizar denominadores: por exemplo \dfrac{1}{3\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{42}, e assim por diante.)

Resposta

(a) \vec{w}=\left(\dfrac{7}{9},-\dfrac{7}{9},\dfrac{14}{9}\right)
(b) \hat{T}=\left(\dfrac{1}{3\sqrt{14}},\dfrac{5}{3\sqrt{14}},-\dfrac{10}{3\sqrt{14}}\right)

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