Verificar se os vetores são Colineares; ortogonais, os dois ou nenhum dos dois. (vale 2)
\vec{w}_{1}=(2,-10,0), \vec{w}_{2}=(5,1,3)

Passo 1

O enunciado dá os dois vetores e pede para verificar se eles são colineares, ortogonais, os dois ou nenhum dos dois. As informações fornecidas são:
  • \vec{w}_{1}=(2,-10,0)
  • \vec{w}_{2}=(5,1,3)
As perguntas explícitas que vamos responder:
  • Os vetores são colineares?
  • Os vetores são ortogonais?
  • Podem ser simultaneamente colineares e ortogonais?

Passo 2

Definição e ideia para testar ortogonalidade (produto escalar):
  • Dois vetores \vec{a} e \vec{b} são ortogonais (perpendiculares) se, e somente se, o produto escalar for zero.
  • O produto escalar em coordenadas de \mathbb{R}^3 é dado por
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z,
onde a_x,a_y,a_z são as componentes de \vec{a} e b_x,b_y,b_z são as de \vec{b}.
  • Aqui vamos aplicar essa fórmula a \vec{w}_1 e \vec{w}_2.

Passo 3

Cálculo do produto escalar \vec{w}_1\cdot\vec{w}_2. Usando as componentes dadas:
\vec{w}_1\cdot\vec{w}_2 = 2\cdot 5 + (-10)\cdot 1 + 0\cdot 3.
Agora calculando termo a termo:
2\cdot 5 = 10,\qquad (-10)\cdot 1 = -10,\qquad 0\cdot 3 = 0.
Somando:
\vec{w}_1\cdot\vec{w}_2 = 10 + (-10) + 0 = 0.

Passo 4

Interpretação do resultado do produto escalar:
  • Como \vec{w}_1\cdot\vec{w}_2 = 0, pela definição dois vetores não-nulos com produto escalar zero são ortogonais.
  • Observação importante (caso especial): vetores nulos são simultaneamente ortogonais e colineares com qualquer vetor. Aqui nenhum dos vetores é o vetor nulo (pois \vec{w}_1 e \vec{w}_2 têm componentes não todas zero), então a conclusão válida é que eles são ortogonais.

Passo 5

Definição e ideia para testar colinearidade:
  • Dois vetores \vec{a} e \vec{b} são colineares se existe um escalar k tal que \vec{a}=k\vec{b} (ou \vec{b}=k\vec{a}). Em coordenadas isso significa que as razões das componentes correspondentes devem ser iguais (desde que não se compare com zero de forma indevida).
  • Vamos tentar encontrar um k que satisfaça \vec{w}_1 = k\,\vec{w}_2.

Passo 6

Tentativa de achar k tal que \vec{w}_1 = k\,\vec{w}_2. Das componentes:
  • Pela componente x: 2 = k\cdot 5 \Rightarrow k = \dfrac{2}{5}.
  • Pela componente y: -10 = k\cdot 1 \Rightarrow k = -10.
  • Pela componente z: 0 = k\cdot 3 \Rightarrow k = 0.
Como os três valores de k obtidos ( \dfrac{2}{5}, -10 e 0) não são iguais, não existe um único escalar k que satisfaça todas as componentes simultaneamente. Portanto \vec{w}_1 e \vec{w}_2 não são colineares.

Passo 7

Conclusão final com interpretação geométrica e motivação:
  • Achamos \vec{w}_1\cdot\vec{w}_2=0, logo os vetores são ortogonais.
  • Tentativa de escrever um vetor como múltiplo escalar do outro falhou (valores de k inconsistentes), logo não são colineares.
  • Eles não são simultaneamente colineares e ortogonais (isso só ocorreria se um deles fosse o vetor nulo), portanto a situação aqui é: ortogonais e não colineares.
  • Força aí — essa verificação é um procedimento bem direto na prova: calcular o produto escalar para ver ortogonalidade e comparar razões ou resolver pelo escalar para ver colinearidade. Você já está dominando o passo a passo!

Resposta

Colineares: Não.
Ortogonais: Sim.

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