Verificar se os vetores são Colineares; ortogonais, os dois ou nenhum dos dois. (vale 2)
Passo 1
O enunciado dá os dois vetores e pede para verificar se eles são colineares, ortogonais, os dois ou nenhum dos dois. As informações fornecidas são:
As perguntas explícitas que vamos responder:
- Os vetores são colineares?
- Os vetores são ortogonais?
- Podem ser simultaneamente colineares e ortogonais?
Passo 2
Definição e ideia para testar ortogonalidade (produto escalar):
- Dois vetores
e são ortogonais (perpendiculares) se, e somente se, o produto escalar for zero. - O produto escalar em coordenadas de
é dado por
onde
são as componentes de
e
são as de
.
- Aqui vamos aplicar essa fórmula a
e .
Passo 3
Cálculo do produto escalar
. Usando as componentes dadas:
Agora calculando termo a termo:
Somando:
Passo 4
Interpretação do resultado do produto escalar:
- Como
, pela definição dois vetores não-nulos com produto escalar zero são ortogonais. - Observação importante (caso especial): vetores nulos são simultaneamente ortogonais e colineares com qualquer vetor. Aqui nenhum dos vetores é o vetor nulo (pois
e têm componentes não todas zero), então a conclusão válida é que eles são ortogonais.
Passo 5
Definição e ideia para testar colinearidade:
- Dois vetores
e são colineares se existe um escalar tal que (ou ). Em coordenadas isso significa que as razões das componentes correspondentes devem ser iguais (desde que não se compare com zero de forma indevida). - Vamos tentar encontrar um
que satisfaça .
Passo 6
Tentativa de achar
tal que
. Das componentes:
- Pela componente
: - Pela componente
: - Pela componente
:
Como os três valores de
obtidos (
,
e
) não são iguais, não existe um único escalar
que satisfaça todas as componentes simultaneamente. Portanto
e
não são colineares.
Passo 7
Conclusão final com interpretação geométrica e motivação:
- Achamos
, logo os vetores são ortogonais. - Tentativa de escrever um vetor como múltiplo escalar do outro falhou (valores de
inconsistentes), logo não são colineares. - Eles não são simultaneamente colineares e ortogonais (isso só ocorreria se um deles fosse o vetor nulo), portanto a situação aqui é: ortogonais e não colineares.
- Força aí — essa verificação é um procedimento bem direto na prova: calcular o produto escalar para ver ortogonalidade e comparar razões ou resolver pelo escalar para ver colinearidade. Você já está dominando o passo a passo!
Resposta
Colineares: Não.
Ortogonais: Sim.
Ortogonais: Sim.