1. Seja o triângulo de vértices \mathrm{A}(1,2,3), \mathrm{B}(-3,-4,6) e \mathrm{C}(3,-4,5). Determinar o Perímetro, Calcular sua Área e os ângulos internos. (vale 2,5)

Passo 1

O enunciado fornece os vértices do triângulo:
\mathrm{A}(1,2,3), \mathrm{B}(-3,-4,6) e \mathrm{C}(3,-4,5).
O que se pede:
  • Determinar o perímetro do triângulo.
  • Calcular a sua área.
  • Calcular os ângulos internos \angle A, \angle B e \angle C.
Dados relevantes que vamos usar (fornecidos no enunciado):
  • Coordenadas de A: (1,2,3).
  • Coordenadas de B: (-3,-4,6).
  • Coordenadas de C: (3,-4,5).

Passo 2

Primeiro vamos obter os vetores que representam os lados (subtraindo coordenadas dois a dois). Esses vetores serão usados para distância, produto escalar e produto vetorial.
\overrightarrow{AB} = B-A = (-3-1,\,-4-2,\;6-3)=(-4,-6,3),
\overrightarrow{AC} = C-A = (3-1,\,-4-2,\;5-3)=(2,-6,2),
\overrightarrow{BC} = C-B = (3-(-3),\,-4-(-4),\;5-6)=(6,0,-1).

Passo 3

Distância entre dois pontos em \mathbb{R}^3: se P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2) então
d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2},
ou equivalentemente o módulo do vetor \overrightarrow{PQ}. Aplicando aos nossos vetores:
Comprimento de AB:
|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2+3^2}=\sqrt{16+36+9}=\sqrt{61}.
Comprimento de AC:
|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2^2+(-6)^2+2^2}=\sqrt{4+36+4}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}.
Comprimento de BC:
|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{6^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{36+0+1}=\sqrt{37}.

Passo 4

Perímetro: soma dos comprimentos dos três lados. Escrevendo a forma exata e uma aproximação numérica (usando cálculo manual/estimativa):
\text{Perímetro} = |\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{61}+\sqrt{44}+\sqrt{37}.í
Aproximação numérica:
\sqrt{61}\approx7,8103,\quad \sqrt{44}\approx6,6332,\quad \sqrt{37}\approx6,0828,
\text{Perímetro}\approx7,8103+6,6332+6,0828\approx20,5263.í

Passo 5

Área do triângulo: para três pontos em \mathbb{R}^3 a área vale metade da magnitude do produto vetorial de dois lados a partir do mesmo vértice. Ou seja, se usamos \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC},
\text{Área}=\frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|.Á
Recordando produto vetorial: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\;-(a_1b_3-a_3b_1),\;a_1b_2-a_2b_1).

Passo 6

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} passo a passo.
Com \overrightarrow{AB}=(-4,-6,3) e \overrightarrow{AC}=(2,-6,2):
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \bigl((-6)\cdot2-3\cdot(-6),\; -\bigl((-4)\cdot2-3\cdot2\bigr),\;(-4)\cdot(-6)-(-6)\cdot2\bigr).
Calcule cada componente:
\text{componente }i: -12 -(-18)=6,
\text{componente }j: -\bigl(-8-6\bigr)=-(-14)=14,
\text{componente }k: 24-(-12)=36.
Portanto
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(6,\,14,\,36).
Magnitude:
|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{6^2+14^2+36^2}=\sqrt{36+196+1296}=\sqrt{1528}.
Simplificando \sqrt{1528}: 1528=4\cdot382, então \sqrt{1528}=2\sqrt{382}. Assim a área do triângulo é
\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{382}=\sqrt{382}.Á
Aproximação numérica:
\sqrt{382}\approx19,5445.

Passo 7

Agora os ângulos internos. Regra do produto escalar: para vetores \mathbf{u},\mathbf{v},
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles. Assim
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|},
e \theta=\operatorname{arccos}(\cdot). Para os ângulos do triângulo tomamos em cada vértice os vetores que partem desse vértice para os outros dois vértices.
Cálculo do cosseno e do ângulo em A (entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}):
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-4)\cdot2+(-6)\cdot(-6)+3\cdot2=-8+36+6=34.
Logo
\cos\angle A=\frac{34}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{34}{\sqrt{61}\,\sqrt{44}}.
Podemos simplificar numericamente:
\cos\angle A\approx\frac{34}{7,8103\cdot6,6332}\approx0,656343,
\angle A=\operatorname{arccos}(0,656343)\approx49,04^\circ.

Passo 8

Cálculo em B (entre \overrightarrow{BA} e \overrightarrow{BC}). Note que \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=(4,6,-3).
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=4\cdot6+6\cdot0+(-3)\cdot(-1)=24+0+3=27.
Então
\cos\angle B=\frac{27}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{27}{\sqrt{61}\,\sqrt{37}}.
Numericamente:
\cos\angle B\approx\frac{27}{7,8103\cdot6,0828}\approx0,568428,
\angle B=\operatorname{arccos}(0,568428)\approx55,30^\circ.

Passo 9

Cálculo em C (entre \overrightarrow{CA} e \overrightarrow{CB}). Usando \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}=(-2,6,-2) e \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=(-6,0,1):
\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-2)\cdot(-6)+6\cdot0+(-2)\cdot1=12+0-2=10.
Portanto
\cos\angle C=\frac{10}{|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|}=\frac{10}{\sqrt{44}\,\sqrt{37}}.
Numericamente:
\cos\angle C\approx\frac{10}{6,6332\cdot6,0828}\approx0,247707,
\angle C=\operatorname{arccos}(0,247707)\approx75,66^\circ.

Passo 10

Verificação rápida: soma dos ângulos aproximados
49,04^\circ+55,30^\circ+75,66^\circ\approx180,00^\circ,
o que confirma consistência numérica.

Resposta

Perímetro: \sqrt{61}+\sqrt{44}+\sqrt{37}\approx20,5263
Área: \sqrt{382}\approx19,5445
Ângulos internos: \angle A\approx49,04^\circ
\angle B\approx55,30^\circ
\angle C\approx75,66^\circ

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