Seja o triângulo de vértices \mathrm{A}(1,2,3), \mathrm{B}(-3,-4,6) e \mathrm{C}(3,-4,5). Determinar o Perímetro, Calcular sua Área e os ângulos internos. (vale 2,5)
Passo 1
O enunciado fornece os vértices do triângulo: \mathrm{A}(1,2,3), \mathrm{B}(-3,-4,6) e \mathrm{C}(3,-4,5).
O que se pede:
Determinar o perímetro do triângulo.
Calcular a sua área.
Calcular os ângulos internos \angle A, \angle B e \angle C.
Dados relevantes que vamos usar (fornecidos no enunciado):
Coordenadas de A: (1,2,3).
Coordenadas de B: (-3,-4,6).
Coordenadas de C: (3,-4,5).
Passo 2
Primeiro vamos obter os vetores que representam os lados (subtraindo coordenadas dois a dois). Esses vetores serão usados para distância, produto escalar e produto vetorial.
Área do triângulo: para três pontos em \mathbb{R}^3 a área vale metade da magnitude do produto vetorial de dois lados a partir do mesmo vértice. Ou seja, se usamos \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC},
Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} passo a passo.
Com \overrightarrow{AB}=(-4,-6,3) e \overrightarrow{AC}=(2,-6,2):
e \theta=\operatorname{arccos}(\cdot). Para os ângulos do triângulo tomamos em cada vértice os vetores que partem desse vértice para os outros dois vértices.
Cálculo do cosseno e do ângulo em A (entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}):
Cálculo em C (entre \overrightarrow{CA} e \overrightarrow{CB}). Usando \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}=(-2,6,-2) e \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=(-6,0,1):