Verificar se os vetores são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independente (LI) nos casos:
g) u=(5,6,7), v=(6,7,8) e w=(1,2,2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
u=(5,6,7), v=(6,7,8) e w=(1,2,2) em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). O conceito principal é: eles são LI se a única combinação
\alpha\,u+\beta\,v+\gamma\,w=0
for com \alpha=\beta=\gamma=0. Uma forma prática é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular seu determinante.

Passo 2

Formamos a matriz A em que cada coluna é um dos vetores:
A = \begin{pmatrix} 5 & 6 & 1\\\\ 6 & 7 & 2\\\\ 7 & 8 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, temos:
\det(A) =5\,(7\cdot2 - 2\cdot8) -6\,(6\cdot2 - 2\cdot7) +1\,(6\cdot8 - 7\cdot7).
Agora simplificamos cada termo:
5\,(14 - 16) -6\,(12 - 14) +1\,(48 - 49) =5\cdot(-2) -6\cdot(-2) +(-1) =-10 +12 -1 =1.

Passo 4

Como \det(A)=1\neq0, a única solução de
\alpha\,u+\beta\,v+\gamma\,w=0
é \alpha=\beta=\gamma=0. Logo os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores u, v e w são linearmente independentes (LI).

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