Verificar se os vetores são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independente (LI) nos casos:
f) \mathrm{u}=(2,1,3), \mathrm{v}=(4,2,5) e w =(0,3,2)

Passo 1

O enunciado pede verificar se os vetores \mathrm{u}=(2,1,3), \mathrm{v}=(4,2,5) e \mathrm{w}=(0,3,2) em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes ou independentes. Em \mathbb{R}^3, três vetores são linearmente independentes se, e somente se, a matriz formada por eles como colunas tiver determinante diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são \mathrm{u}, \mathrm{v} e \mathrm{w}:
A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}
e vamos calcular \det(A).

Passo 3

Expandindo o determinante pela primeira linha:
\det(A) = 2\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 5 & 2\end{pmatrix} - 4\det\begin{pmatrix}1 & 3\\\ 3 & 2\end{pmatrix} + 0\cdot(\cdots).
Calculamos os menores:
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 5 & 2\end{pmatrix} =2\cdot2 - 3\cdot5 = -11, \quad \det\begin{pmatrix}1 & 3\\\ 3 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2 - 3\cdot3 = -7.
Substituindo,
\det(A)=2\cdot(-11)-4\cdot(-7)=-22+28=6\neq0.

Passo 4

Como \det(A)\neq0, o sistema homogêneo A\,(a,b,c)^\mathsf{T}=0 só admite a solução trivial (a,b,c)=(0,0,0). Logo os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores \mathrm{u}, \mathrm{v} e \mathrm{w} são linearmente independentes.

Exercícios relacionados