Verifique que:
12 ln (1+x1-x)=sumn=0^infty x^2 n+12 n+1,|x| <= 1

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função tfrac12lnl(tfrac1+x1-xr) admite a expansão em série de potências sumn=0^inftytfracx^2n+12n+1 para |x|<=1. O conteúdo principal aqui é desenvolvimento em série de Taylor/Maclaurin através da derivação e integração de séries geométricas, e vamos precisar usar que é permitido integrar termo a termo em séries de potências dentro do raio de convergência.

Passo 2

Começamos observando que derivando a função proposta obtemos uma forma fácil de expandir. Calculando a derivada de f(x)=tfrac12lnl(tfrac1+x1-xr):
Colocamos o resultado em evidência e simplificamos a derivada:

Passo 3

Em seguida usamos a série geométrica clássica para 11-x^2. Sabendo que para |x|<1 vale
exibimos a expansão de 11-x^2 em série de potências de ordem par e depois integramos cada termo de zero até x, ajustando a constante de integração pelo valor em zero.

Passo 4

Após integrar termo a termo e verificar que a constante é zero (pois em x=0 a função vale zero), chegamos à série desejada.

Resposta

12lnl(tfrac1+x1-xr)=sumn=0^inftyx^2n+12n+1, para |x|<=1.

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