Verifique que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
admite a expansão em série de potências
para
. O conteúdo principal aqui é desenvolvimento em série de Taylor/Maclaurin através da derivação e integração de séries geométricas, e vamos precisar usar que é permitido integrar termo a termo em séries de potências dentro do raio de convergência.
Passo 2
Começamos observando que derivando a função proposta obtemos uma forma fácil de expandir. Calculando a derivada de
:
Colocamos o resultado em evidência e simplificamos a derivada:
Colocamos o resultado em evidência e simplificamos a derivada:
Passo 3
Em seguida usamos a série geométrica clássica para
. Sabendo que para
vale
exibimos a expansão de em série de potências de ordem par e depois integramos cada termo de zero até
, ajustando a constante de integração pelo valor em zero.
exibimos a expansão de
Passo 4
Após integrar termo a termo e verificar que a constante é zero (pois em
a função vale zero), chegamos à série desejada.