Determine o raio de convergência da seguinte série de potências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o raio de convergência da série de potências:
Isso faz parte do estudo de Séries de Potências em cálculo, e para resolver a gente vai usar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a descobrir até onde a série converge, ou seja, qual o valor de $ x $ para a série dar certo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como aplicar o Teste da Razão. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série e ver se esse limite é menor que 1.
Para a série geral $ a_n = \frac{(-1){n}(x-1){n}}{n!} $, vamos calcular:
Passo 3
Vamos encontrar $ a_{n+1} $:
Agora, a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $ fica:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Agora, vamos tirar o valor absoluto dessa razão:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Passo 6
Como o limite é 0, que é menor que 1, segundo o Teste da Razão, isso significa que a série converge para todo valor de $ x $.
Resposta
O raio de convergência da série é infinito, ou seja, a série converge para todos os números reais $ x $.