Determine o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=0^infty (-1)^n(x-1)^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o raio de convergência da série de potências:
sumn=0^infty (-1)^n(x-1)^nn!
Isso faz parte do estudo de Séries de Potências em cálculo, e para resolver a gente vai usar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a descobrir até onde a série converge, ou seja, qual o valor de $ x $ para a série dar certo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como aplicar o Teste da Razão. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série e ver se esse limite é menor que 1.
Para a série geral $ a_n = \frac{(-1){n}(x-1){n}}{n!} $, vamos calcular:
an = (-1)^n(x-1)^nn!

Passo 3

Vamos encontrar $ a_{n+1} $:
an+1
Agora, a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $ fica:
an+1 = (-1)^n+1(x-1)^n+1(n+1)!

Passo 4

Simplificando a expressão:
an+1an = (-1)(x-1)n+1
Agora, vamos tirar o valor absoluto dessa razão:
| an+1an | = | (x-1)n+1 |

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n

Passo 6

Como o limite é 0, que é menor que 1, segundo o Teste da Razão, isso significa que a série converge para todo valor de $ x $.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito, ou seja, a série converge para todos os números reais $ x $.

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