Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras. Justifique sua resposta provando a afirmação quando for verdadeira, ou exibindo um contra-exemplo quando for falsa.
\operatorname{det}(2 A)=2 \operatorname{det}(A) .
\operatorname{det}(2 A)=2 \operatorname{det}(A) .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a afirmação
é verdadeira ou falsa, e justificar. Vou considerar que
é uma matriz quadrada (caso contrário
não está definido). Então
é uma matriz
para algum inteiro
. O que se pede: decidir verdade/falsidade da igualdade para uma matriz quadrada genérica
e justificar com prova ou contra-exemplo.
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade fundamental do determinante que vou usar: o determinante é multilinear nas linhas (ou nas colunas). Uma forma clara e direta de ver o efeito de multiplicar a matriz por um escalar usa a fórmula por permutações:
onde
são as entradas de
e
é o conjunto das permutações de
. Se multiplicamos toda a matriz por um escalar
, cada entrada vira
. Substituindo na fórmula:
Como o produto tem
fatores, cada termo recebe um fator
, logo
Essa é a identidade chave: para toda matriz quadrada
de ordem
e todo escalar
,
Passo 3
Aplicando a identidade anterior com
obtemos
A igualdade do enunciado
seria verdadeira somente quando
. Isso ocorre em dois casos:
- se
(ambos os lados são zero); ou - se
, isto é, se .
Portanto, em geral (para matrizes de ordem
com
) a afirmação é falsa.
Passo 4
Para fixar a ideia, apresento um contra-exemplo simples com
. Tome
Então
. Calculando
e seu determinante:
Já
. Logo
portanto a afirmação é falsa em geral.]
Passo 5
Resumo didático e dica para a prova: sempre que um escalar
multiplica uma matriz
, o determinante é multiplicado por
. Uma maneira rápida de lembrar é: cada uma das
linhas (ou colunas) recebe o fator
, e o determinante é linear em cada linha, produzindo o fator
por linha, totalizando
. Assim, é incorreto tentar “puxar” apenas um fator
do determinante quando a matriz tem ordem maior que
.
Resposta
Falsa.