Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras. Justifique sua resposta provando a afirmação quando for verdadeira, ou exibindo um contra-exemplo quando for falsa.
\operatorname{det}(2 A)=2 \operatorname{det}(A) .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação
\det(2A)=2\det(A)
é verdadeira ou falsa, e justificar. Vou considerar que A é uma matriz quadrada (caso contrário \det(A) não está definido). Então A é uma matriz n\times n para algum inteiro n\ge 1. O que se pede: decidir verdade/falsidade da igualdade para uma matriz quadrada genérica A e justificar com prova ou contra-exemplo.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade fundamental do determinante que vou usar: o determinante é multilinear nas linhas (ou nas colunas). Uma forma clara e direta de ver o efeito de multiplicar a matriz por um escalar usa a fórmula por permutações:
\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)},
onde a_{i,j} são as entradas de A e S_n é o conjunto das permutações de \{1,\dots,n\}. Se multiplicamos toda a matriz por um escalar k, cada entrada vira k a_{i,j}. Substituindo na fórmula:
\det(kA)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n (k a_{i,\sigma(i)})
Como o produto tem n fatores, cada termo recebe um fator k^n, logo
\det(kA)=k^n\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}=k^n\det(A).
Essa é a identidade chave: para toda matriz quadrada A de ordem n e todo escalar k,
\det(kA)=k^n\det(A).

Passo 3

Aplicando a identidade anterior com k=2 obtemos
\det(2A)=2^n\det(A).
A igualdade do enunciado \det(2A)=2\det(A) seria verdadeira somente quando 2^n\det(A)=2\det(A). Isso ocorre em dois casos:
  • se \det(A)=0 (ambos os lados são zero); ou
  • se 2^n=2, isto é, se n=1.
Portanto, em geral (para matrizes de ordem n\ge 2 com \det(A)\neq0) a afirmação é falsa.

Passo 4

Para fixar a ideia, apresento um contra-exemplo simples com n=2. Tome
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I_2.
Então \det(A)=1. Calculando 2A e seu determinante:
2A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},\qquad \det(2A)=2\cdot 2=4.
2\det(A)=2\cdot 1=2. Logo
\det(2A)=4\neq 2=2\det(A),
portanto a afirmação é falsa em geral.]

Passo 5

Resumo didático e dica para a prova: sempre que um escalar k multiplica uma matriz n\times n, o determinante é multiplicado por k^n. Uma maneira rápida de lembrar é: cada uma das n linhas (ou colunas) recebe o fator k, e o determinante é linear em cada linha, produzindo o fator k por linha, totalizando k^n. Assim, é incorreto tentar “puxar” apenas um fator k do determinante quando a matriz tem ordem maior que 1.

Resposta

Falsa.

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