Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras. Justifique sua resposta provando a afirmação quando for verdadeira, ou exibindo um contra-exemplo quando for falsa.
\operatorname{det}\left(A^{t}\right)=\operatorname{det}(A) .

Passo 1

O enunciado dá a seguinte afirmação a ser verificada: \det\!\bigl(A^{t}\bigr)=\det(A).
Pede-se decidir se é verdadeira ou falsa e justificar: provar a igualdade quando for verdadeira, ou apresentar um contraexemplo quando for falsa.
Não há outros dados numéricos; a afirmação é para matrizes quadradas genéricas A.

Passo 2

Vamos recordar uma definição explícita e muito usada do determinante (fórmula de Leibniz), que será a ferramenta principal do nosso argumento. Para uma matriz A=(a_{ij}) de ordem n definimos
\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)},
onde S_n é o conjunto de todas as permutações de \{1,2,\dots,n\} e \operatorname{sgn}(\sigma)\in\{+1,-1\} é o sinal da permutação \sigma (igual a +1 se \sigma é par e -1 se \sigma é ímpar).
Explicando as partes:
  • a_{i,\sigma(i)} é o elemento da linha i e coluna \sigma(i) de A.
  • O produto \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} multiplica um elemento de cada linha e de cada coluna (uma escolha de um elemento por linha/coluna determinada por \sigma).
  • A soma percorre todas as permutações, com sinal \operatorname{sgn}(\sigma).
Esta fórmula vale para matrizes com entradas em um anel comutativo (por exemplo \mathbb{R}, \mathbb{C}), que é o caso usual.

Passo 3

Agora escrevo o determinante de A^{t} (a transposta de A). As entradas de A^{t} são \bigl(A^{t}\bigr)_{i,j}=a_{j,i}. Aplicando a fórmula de Leibniz a A^{t} obtém-se
\det\!\bigl(A^{t}\bigr) =\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n \bigl(A^{t}\bigr)_{i,\sigma(i)} =\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{\sigma(i),\,i}.
Observe a diferença no índice dos a: em vez de a_{i,\sigma(i)} temos a_{\sigma(i),i}.

Passo 4

Fazemos uma mudança de índice nas permutações para transformar o produto acima em algo comparável à expressão de \det(A). Defina \tau=\sigma^{-1}. A correspondência \sigma\mapsto\tau=\sigma^{-1} é uma bijeção de S_n sobre S_n. Além disso vale a propriedade
\operatorname{sgn}(\sigma)=\operatorname{sgn}(\sigma^{-1})=\operatorname{sgn}(\tau),
pois a inversa de uma permutação tem a mesma paridade (o número de transposições numa decomposição é o mesmo módulo 2). Agora reescrevemos o produto usando \tau. Como \tau=\sigma^{-1} temos \sigma(i)=j se e somente se i=\tau(j). Então, alterando soma e produto via essa renomenclatura,
\prod_{i=1}^n a_{\sigma(i),\,i} =\prod_{j=1}^n a_{j,\,\tau(j)}
(ao trocar o papel do índice i por j=\sigma(i) percorre-se todas as posições 1,\dots,n). Assim
\det\!\bigl(A^{t}\bigr) =\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{\sigma(i),\,i} =\sum_{\tau\in S_n}\operatorname{sgn}(\tau)\prod_{j=1}^n a_{j,\,\tau(j)}.

Passo 5

A expressão obtida no passo anterior é exatamente a fórmula de Leibniz para \det(A):
\det\!\bigl(A^{t}\bigr) =\sum_{\tau\in S_n}\operatorname{sgn}(\tau)\prod_{j=1}^n a_{j,\,\tau(j)} =\det(A).
Portanto provamos que, para qualquer matriz quadrada A com entradas num anel comutativo, vale \det\!\bigl(A^{t}\bigr)=\det(A).

Passo 6

Para fixar a intuição, veja um exemplo simples 2\times2. Seja
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}.
Então \det(A)=ad-bc. A transposta é A^{t}=\begin{pmatrix}a & c\\[4pt] b & d\end{pmatrix} e
\det\!\bigl(A^{t}\bigr)=ad-cb=ad-bc=\det(A).
O exemplo numérico confirma a igualdade e é consistente com a prova geral.]

Passo 7

Comentário final (didático e prático): a prova acima usa apenas a fórmula de Leibniz e a propriedade da bijeção \sigma\mapsto\sigma^{-1}. Ela funciona em qualquer contexto onde se possa aplicar a fórmula de Leibniz — em particular para matrizes sobre \mathbb{R} ou \mathbb{C}. Se as entradas não comutassem entre si (por exemplo matrizes com entradas em um anel não comutativo), precisar-se-ia ter cuidado adicional; mas no contexto habitual de álgebra linear sobre corpos comutativos a igualdade é sempre verdadeira. Força aí nos estudos — essa propriedade é uma das que aparece muito em provas curtas!

Resposta

Verdadeira

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