Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras. Justifique sua resposta provando a afirmação quando for verdadeira, ou exibindo um contra-exemplo quando for falsa.
\operatorname{det}\left(A^{t}\right)=\operatorname{det}(A) .
\operatorname{det}\left(A^{t}\right)=\operatorname{det}(A) .
Passo 1
O enunciado dá a seguinte afirmação a ser verificada:
.
Pede-se decidir se é verdadeira ou falsa e justificar: provar a igualdade quando for verdadeira, ou apresentar um contraexemplo quando for falsa.
Não há outros dados numéricos; a afirmação é para matrizes quadradas genéricas .
Pede-se decidir se é verdadeira ou falsa e justificar: provar a igualdade quando for verdadeira, ou apresentar um contraexemplo quando for falsa.
Não há outros dados numéricos; a afirmação é para matrizes quadradas genéricas
Passo 2
Vamos recordar uma definição explícita e muito usada do determinante (fórmula de Leibniz), que será a ferramenta principal do nosso argumento. Para uma matriz
de ordem
definimos
onde
é o conjunto de todas as permutações de
e
é o sinal da permutação
(igual a
se
é par e
se
é ímpar).
Explicando as partes:
Explicando as partes:
-
é o elemento da linha e coluna de . - O produto
multiplica um elemento de cada linha e de cada coluna (uma escolha de um elemento por linha/coluna determinada por ). - A soma percorre todas as permutações, com sinal
.
Esta fórmula vale para matrizes com entradas em um anel comutativo (por exemplo
,
), que é o caso usual.
Passo 3
Agora escrevo o determinante de
(a transposta de
). As entradas de
são
. Aplicando a fórmula de Leibniz a
obtém-se
Observe a diferença no índice dos
: em vez de
temos
.
Passo 4
Fazemos uma mudança de índice nas permutações para transformar o produto acima em algo comparável à expressão de
. Defina
. A correspondência
é uma bijeção de
sobre
. Além disso vale a propriedade
pois a inversa de uma permutação tem a mesma paridade (o número de transposições numa decomposição é o mesmo módulo
). Agora reescrevemos o produto usando
. Como
temos
se e somente se
. Então, alterando soma e produto via essa renomenclatura,
(ao trocar o papel do índice
por
percorre-se todas as posições
). Assim
Passo 5
A expressão obtida no passo anterior é exatamente a fórmula de Leibniz para
:
Portanto provamos que, para qualquer matriz quadrada
com entradas num anel comutativo, vale
.
Passo 6
Para fixar a intuição, veja um exemplo simples
. Seja
Então
. A transposta é
e
O exemplo numérico confirma a igualdade e é consistente com a prova geral.]
Passo 7
Comentário final (didático e prático): a prova acima usa apenas a fórmula de Leibniz e a propriedade da bijeção
. Ela funciona em qualquer contexto onde se possa aplicar a fórmula de Leibniz — em particular para matrizes sobre
ou
. Se as entradas não comutassem entre si (por exemplo matrizes com entradas em um anel não comutativo), precisar-se-ia ter cuidado adicional; mas no contexto habitual de álgebra linear sobre corpos comutativos a igualdade é sempre verdadeira. Força aí nos estudos — essa propriedade é uma das que aparece muito em provas curtas!
Resposta
Verdadeira