Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras. Justifique sua resposta provando a afirmação quando for verdadeira, ou exibindo um contra-exemplo quando for falsa.
\operatorname{det}\left(A^{2}\right)=(\operatorname{det} A)^{2} .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, e justificar a resposta:
\det\!\left(A^{2}\right)=(\det A)^{2}.
Informações relevantes dadas (ou implícitas):
  • A é uma matriz quadrada de ordem n (a determinante só é definida para matrizes quadradas).
  • A questão quer uma justificativa: prova quando for verdadeira ou contra-exemplo quando for falsa.

Passo 2

Vou lembrar uma propriedade fundamental do determinante que vamos usar: para quaisquer matrizes quadradas n\times n (sobre um corpo como \mathbb{R} ou \mathbb{C}) vale
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).
Esta propriedade diz que o determinante é multiplicativo. Intuição geométrica: o determinante de uma matriz representa o fator de escala (orientado) do volume quando se aplica a transformação linear correspondente; aplicar primeiro B e depois A escala volumes por \det(B) e depois por \det(A), então a composição escala por \det(A)\det(B). Essa é a razão geométrica; formalmente é um teorema clássico da teoria do determinante.

Passo 3

Para quem gosta de uma justificativa algébrica curta: usando a definição do determinante via soma sobre permutações (fórmula de Leibniz),
\det(M)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n M_{i,\sigma(i)},
e a fórmula de entrada de AB,
(AB)_{i,j}=\sum_{k=1}^n A_{i,k}B_{k,j},
fazendo a expansão de \det(AB) e reorganizando a soma (é aqui que aparece a versão discreta do teorema de Cauchy–Binet) obtém-se exatamente \det(A)\det(B). Não vou reproduzir toda a somatória técnica passo a passo (é um pouco trabalhosa), mas este é o esqueleto do argumento algébrico padrão que prova a multiplicatividade do determinante.

Passo 4

Usando a propriedade multiplicativa do determinante, aplicamos com B=A:
\det(A^2)=\det(AA)=\det(A)\,\det(A)=(\det A)^2.
Essa conta é direta e não exige hipóteses adicionais além de A ser quadrada.

Passo 5

Observações úteis para a prova e para a prova em uma prova de faculdade:
  • Se A é singular (ou seja, \det A=0), a igualdade continua válida porque \det(A^2)=0 e (\det A)^2=0.
  • A mesma ideia se generaliza: para todo inteiro positivo k vale \det(A^k)=(\det A)^k. A demonstração por indução usa a multiplicatividade: supondo \det(A^m)=(\det A)^m, então \det(A^{m+1})=\det(A^mA)=\det(A^m)\det(A)=(\det A)^{m+1}.
  • Se a matriz não for quadrada, o determinante não está definido, então a afirmação não faz sentido nesse caso. Mas o enunciado supõe matriz com determinante definido, logo quadrada.

Passo 6

Resumo do argumento didático: a identidade é consequência imediata da propriedade básica \det(AB)=\det(A)\det(B), aplicando-a com B=A. Portanto a igualdade \det(A^2)=(\det A)^2 é válida para toda matriz quadrada A.

Resposta

Verdadeira.

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