Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras. Justifique sua resposta provando a afirmação quando for verdadeira, ou exibindo um contra-exemplo quando for falsa.
\operatorname{det}\left(A^{2}\right)=(\operatorname{det} A)^{2} .
\operatorname{det}\left(A^{2}\right)=(\operatorname{det} A)^{2} .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, e justificar a resposta:
Informações relevantes dadas (ou implícitas):
-
é uma matriz quadrada de ordem (a determinante só é definida para matrizes quadradas). - A questão quer uma justificativa: prova quando for verdadeira ou contra-exemplo quando for falsa.
Passo 2
Vou lembrar uma propriedade fundamental do determinante que vamos usar: para quaisquer matrizes quadradas
(sobre um corpo como
ou
) vale
Esta propriedade diz que o determinante é multiplicativo. Intuição geométrica: o determinante de uma matriz representa o fator de escala (orientado) do volume quando se aplica a transformação linear correspondente; aplicar primeiro
e depois
escala volumes por
e depois por
, então a composição escala por
. Essa é a razão geométrica; formalmente é um teorema clássico da teoria do determinante.
Passo 3
Para quem gosta de uma justificativa algébrica curta: usando a definição do determinante via soma sobre permutações (fórmula de Leibniz),
e a fórmula de entrada de
,
fazendo a expansão de
e reorganizando a soma (é aqui que aparece a versão discreta do teorema de Cauchy–Binet) obtém-se exatamente
. Não vou reproduzir toda a somatória técnica passo a passo (é um pouco trabalhosa), mas este é o esqueleto do argumento algébrico padrão que prova a multiplicatividade do determinante.
Passo 4
Usando a propriedade multiplicativa do determinante, aplicamos com
:
Essa conta é direta e não exige hipóteses adicionais além de
ser quadrada.
Passo 5
Observações úteis para a prova e para a prova em uma prova de faculdade:
- Se
é singular (ou seja, ), a igualdade continua válida porque e . - A mesma ideia se generaliza: para todo inteiro positivo
vale . A demonstração por indução usa a multiplicatividade: supondo , então . - Se a matriz não for quadrada, o determinante não está definido, então a afirmação não faz sentido nesse caso. Mas o enunciado supõe matriz com determinante definido, logo quadrada.
Passo 6
Resumo do argumento didático: a identidade é consequência imediata da propriedade básica
, aplicando-a com
. Portanto a igualdade
é válida para toda matriz quadrada
.
Resposta
Verdadeira.