Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras. Justifique sua resposta provando a afirmação quando for verdadeira, ou exibindo um contra-exemplo quando for falsa.
\operatorname{det} A_{i j}<\operatorname{det} A .

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se a afirmação
\det A_{ij} < \det A
é verdadeira ou falsa. Interpreto a afirmação como sendo uma alegação universal: "para qualquer matriz quadrada A e quaisquer índices i,j, vale \det A_{ij} < \det A".
Informações dadas (implícitas pela notação):
  • A é uma matriz quadrada n\times n.
  • A_{ij} denota a matriz obtida de A ao eliminar a linha i e a coluna j; assim A_{ij} é uma matriz (n-1)\times(n-1).
    A tarefa: dizer se essa desigualdade vale sempre; se for verdadeira, provar; se for falsa, apresentar um contraexemplo.

Passo 2

Entendendo as quantidades envolvidas (explicação didática):
  • Para uma matriz quadrada B, \det B é um número (que pode ser positivo, zero ou negativo) associado a B. Não há, em geral, uma relação monotônica simples entre \det B e \det de submatrizes: eliminando uma linha e uma coluna o determinante pode aumentar, diminuir ou ficar igual, dependendo dos valores dos elementos.
  • A notação A_{ij} designa o subbloco que resulta da remoção da linha i e da coluna j. Por exemplo, se n=2 e
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
então A_{11}=(d) (matriz 1\times1 cujo único elemento é d), e
\det A = ad-bc,\qquad \det A_{11}=d.
Portanto já no caso n=2 podemos comparar explicitamente \det A_{ij} e \det A.

Passo 3

Construindo um contraexemplo simples (igualdade quebra a desigualdade estrita):
Considere a matriz identidade 2\times2
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Calculemos:
\det A = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1.
O subbloco obtido ao eliminar a primeira linha e a primeira coluna é
A_{11} = (1),
logo
\det A_{11} = 1.
Aqui \det A_{11} = \det A, então a afirmação estrita \det A_{11} < \det A é falsa para esta matriz. Portanto a afirmação universal é falsa.]

Passo 4

Um contraexemplo que mostra que o menor pode ser maior que o determinante da matriz inteira:
Considere
A=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Temos
\det A = 0\cdot 1 - 0\cdot 0 = 0, \qquad A_{11}=(1), \qquad \det A_{11}=1.
Aqui \det A_{11}=1>\det A=0. Isso mostra que não só a desigualdade estrita falha em geral como também o menor (o determinante do subbloco) pode ser maior que o determinante da matriz A.]

Passo 5

Conclusão e comentário intuitivo:
  • Mostrei dois contraexemplos muito simples em 2\times2: um em que \det A_{ij}=\det A (identidade) e outro em que \det A_{ij}>\det A. Isso é suficiente para estabelecer que a afirmação "para toda matriz A vale \det A_{ij}<\det A" é falsa.
  • Intuitivamente, determinantes não se comportam monotonicamente ao remover linhas/colunas; sinais e magnitudes podem mudar, por isso não existe uma desigualdade universal do tipo proposto.

Resposta

Falsa.

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