Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras. Justifique sua resposta provando a afirmação quando for verdadeira, ou exibindo um contra-exemplo quando for falsa.
\operatorname{det} A_{i j}<\operatorname{det} A .
\operatorname{det} A_{i j}<\operatorname{det} A .
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Interpreto a afirmação como sendo uma alegação universal: "para qualquer matriz quadrada
e quaisquer índices
, vale
".
Informações dadas (implícitas pela notação):
Informações dadas (implícitas pela notação):
-
é uma matriz quadrada . -
denota a matriz obtida de ao eliminar a linha e a coluna ; assim é uma matriz .
A tarefa: dizer se essa desigualdade vale sempre; se for verdadeira, provar; se for falsa, apresentar um contraexemplo.
Passo 2
Entendendo as quantidades envolvidas (explicação didática):
- Para uma matriz quadrada
, é um número (que pode ser positivo, zero ou negativo) associado a . Não há, em geral, uma relação monotônica simples entre e de submatrizes: eliminando uma linha e uma coluna o determinante pode aumentar, diminuir ou ficar igual, dependendo dos valores dos elementos. - A notação
designa o subbloco que resulta da remoção da linha e da coluna . Por exemplo, se e
então
(matriz
cujo único elemento é
), e
Portanto já no caso
podemos comparar explicitamente
e
.
Passo 3
Construindo um contraexemplo simples (igualdade quebra a desigualdade estrita):
Considere a matriz identidade
Considere a matriz identidade
Calculemos:
O subbloco obtido ao eliminar a primeira linha e a primeira coluna é
logo
Aqui
, então a afirmação estrita
é falsa para esta matriz. Portanto a afirmação universal é falsa.]
Passo 4
Um contraexemplo que mostra que o menor pode ser maior que o determinante da matriz inteira:
Considere
Considere
Temos
Aqui
. Isso mostra que não só a desigualdade estrita falha em geral como também o menor (o determinante do subbloco) pode ser maior que o determinante da matriz
.]
Passo 5
Conclusão e comentário intuitivo:
- Mostrei dois contraexemplos muito simples em
: um em que (identidade) e outro em que . Isso é suficiente para estabelecer que a afirmação "para toda matriz vale " é falsa. - Intuitivamente, determinantes não se comportam monotonicamente ao remover linhas/colunas; sinais e magnitudes podem mudar, por isso não existe uma desigualdade universal do tipo proposto.
Resposta
Falsa.